关于空间和维度的问题

luckylucky

假设我们先只讨论有限维空间。比如，0维，点，1维，线。 2维面，3维体。暂不讨论更高位。
在几何中，通常对诸如 点，线，面的解释都是，是一种数学的抽象。比如，线不关心线宽。面不关心厚度。点不关系面积。
那么是否有，或已经有一套理论，将点线面等进行了统一。使得能通过符号或公式化来描述点线面之间的关系？或，这样的统一是不存在的。如果扩展到高维是，即必须在已知N维逻辑关系下，并人为添加对N+1维的额外定义，才可继续讨论N+1维的问题。
把问题再简单化和抽象化。我们不考虑一些几何角度看待的点线面的问题。我们可以考虑一些图论问题。
比如，我们可以通过定义如下内容：
1、点与点必须要存在线，以表示点与点连通。即任意一点至少和一个其他点存在线。当且仅当只存在一点时，无线存在。
2、任意线的两端必定为点。
3、任意面与面之间必定为线。
等等。
我现在所迷惑的是，是否有比较好的方法来去统一对点，线，面进行描述，甚至能扩展到高维。比如，什么样的点线逻辑可以分割一个面。即什么情况下，一个线段是两个不同面的相交？这个情况比较难，那么再简单点的问题是：
什么样的点，满足上述定义约束下，其在一个环上？即其和一个点元素集合和线元素集合，以及点线关系的集合，通过某种逻辑描述，使得能确认其在环上。而这种逻辑描述又足够的精简，通用和说明问题。而不是诸如“多个顶点依次连同，并首尾相邻”这种大白话来约束。大白话毕竟增加了很多额外定义和约束。

数学小不点

建议您去把德国数学家戴德金的划线理论研究一下，再来发言吧，在这方面，德国人最有研究。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
比如实数理论就是这么确定的。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
实际上，戴德金先生认为，任意线中的任意一划也必为点。

luckylucky

不太是一会时。举个例子。
由于定义约束。如果存在多个点。则一定对于任意点至少存在一条线将其和其他点相连。也可以说。在0维集合中，如果存在多个元素，任意元素，必然至少和一个非自身的元素有OP关系。且OP关系不可由自身0维集合提供。此时存在1维集合的元素。某个线。
而当线存在环时，由出现多条线段交替出现且无起点或终点，此时需要非1维，2维集合的内部元素来描述。（如果不成环的1维元素组成的子集可由首位点来确定。）
我的意思是，如何能合理的描述，新增维度存在的必要条件。同时其和低维之间的关系。

ygq的马甲

楼主（ luckylucky ）你所提的，已经有答案了。即 从 N 整数“维”度到 N+1 整数“维”度
在我（俞根强、ｙｇｑｋａｒｌ）这种“新道学”中，回答是 N→N+1【递推】，与康托尔连续统假设等有关。具体地来说，除“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑之外，还必须有“辩证ｄｉａｌｅｃｔｉｃ”逻辑，即 【公理二】存在且只存在 R(·,·)="∈"∪" Ï "∪" Æ "

************************
附图：事物变化的基本形状（变）

luckylucky

恩。回4楼的，我水平有限，没看懂。但确实想理解一下你的思想。您能否解释的更为具体些，如果有时间的话。

ygq的马甲

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/11/17 03:49am 第 1 次编辑]

下面引用由luckylucky在 2009/11/17 02:56am 发表的内容：
恩。回4楼的，我水平有限，没看懂。但确实想理解一下你的思想。您能否解释的更为具体些，如果有时间的话。

注释：“一分为几（Ｎ≥２）”方法的《方法论ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ》，是每一个【体系】的“必要ｎｅｃｅｓｓａｒｙ”组件。
R(·,·)="∈" 与 R(·,·)=" Ï " 之间是【线性无关】的，可以组成一个【线性空间】的“基”。从 N 整数“维”度到 N+1 整数“维”度，实际上只要搞透 0→1 “维”度上的过程，实际上就是【连续】概念的“分维”

附图：二维几何模型表示的逻辑类型

【公理二】存在且只存在 R(·,·)="∈"∪" Ï "∪" Æ "
.
按照“一分为二”方法假设代号 A 和 ﹁A ，那么对照“二维几何模型表示的逻辑类型”附图，存在五种侧面，分别如下：
R(·,·)=" Æ " 对应的是 A 和 ﹁A ；
R(·,·)="∈" 对应的是 A←→A 和 ﹁A←→﹁A ；
R(·,·)=" Ï " 对应的是 A←→﹁A 。
以上是【公理】部分，与 A 所选择的具体内容无关。

ygq的马甲

楼主（luckylucky）你，是否已经清楚了以下步骤：
1、我（俞根强、ｙｇｑｋａｒｌ）这种“新道学”，是怎么回事的 ？？？
2、楼主（luckylucky）你的【问题】，
...在我（俞根强、ｙｇｑｋａｒｌ）这种“新道学”中，是怎么表达的 ？？？

R(·,·)="∈" 对应的是 A←→A 和 ﹁A←→﹁A ；

【提示】：这二个侧面是怎么【过渡】的 ？？？

申一言

    俺举双手赞成楼主的观点!
    您所提出的理论必将在不久的将来实现!
    因为它所揭示的是符合自然规律的纯粹数学的理论基础!

                                                            谢谢!

wanwna

你可以去看一下拓扑学,我相信应该可以给你一个答案.
我解释一下维度概念:当一个空间,对于其中任意连通的两点,只需去掉一个n维的子空间,则可以让这两点不连通,则称这个空间为n+1维.

zhaolu48

什么叫空间，
高中课本中讲的全集，对于它的全部子集来说就是空间，空间中的运算就是子集的“交、并、补”运算。
有维数的空间，主要是线性空间，希尔伯特空间，欧氏空间。
就几何来讲，仿射几何，正交几何及其上的图形是讲维数的。
其实仿射几何就是线性空间上的几何；正交几何就是欧氏空间上的几何。他们都是有限维的。
比如n维线性空间V^n上的一组m(m≤n)线性无关的向量a(1),a(2),…,a(m)，那么把集合
{x|x=k(1)a(1)+k(2)a(2)+…+k(m)a(m),k(i)∈R,i=1,2,…,m}
就称为V^n上的一个m维生成子空间。