自变量x的二阶微分d(dx)为什么等于0呢？

fm1134

设有函数y=f(x)，x是自变量，y是因变量，那么为什么d(dx)=0成立呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/11/22 05:25pm 第 1 次编辑]

这个问题答复如下：

fm1134

非常感谢陆老师的解答！但还有点疑问。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/11/22 10:19pm 第 1 次编辑]

说微分 dx 是无穷小量，这是“非标准分析”的观点。
按照标准微积分的观点，微分 dx 就是增量 Δx ，是一个普通的量，并不是无穷小量。
按照标准微积分的观点，因为 dy＝f';(x)Δx ，dx＝Δx ，所以有 dy/dx＝f';(x)Δx/Δx＝f';(x) 。
这个运算，就是普通的除法，与 Δx→0 的极限没有任何关系，所以 dx 并不是 Δx→0 的极限，并不是一个无穷小量。
对于增量 Δx ，可以有两种看法：
一种看法是把 Δx 当作一个普通的常数，可以写 Δx＝0.1 ，Δx＝0.2 等等。所以，对 Δx 求关于 x 的导数时，有(Δx)';＝0 。
另一种看法，可以把 Δx 当作一个变量，但是，它是一个与 x 无关的变量，所以对 Δx 求关于 x 的导数时，仍有 (Δx)';＝0 。
不管哪一种看法，都有 d(dx)＝d(Δx)＝(Δx)';Δx＝0Δx＝0 。

fm1134

说Δx与x无关，所以(△x)';=0，这是从直观意义上来说的。不知能否从微积分的基本
运算性质中推导出d(dx)=0这一结果来呢？我想，如果d(dx)=0确实成立的话，那么不
论是从直观意义上，还是从逻辑运算上，都应该是能推导出来的。