判断一个数能否被 7, 13, 17, 19 整除的方法

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/04/28 08:18am 第 1 次编辑]

设 n 是正整数。
我们知道如何判断 n 是否能被 2， 3， 4， 5， 6， 9, 11 整除。例如各位数之和能被3 或 9 整除，那么n 就可以被3 或 9 整除。
试求检验能否被 7, 13, 17, 19 整除的方法。并给出证明。

lizh714285

  对7的解答：
有6个自然数   N1=1,N2=3, N3=2, N4=6, N5=4, N6=5
将待检验的数字（不妨设为正整数） ，个位*N1; 十位*N2; 百位*N3; 千位*N4
万位*N5； 十万位*N6；  百万位又回到乘以N1，千万位*N2, 再上一位*N3...
....用完了N6后，再用N1。。。  如此获得一组数，把他们全加起来得到新数m
m与待检验数同余（以7为模）。可以利用这个程序再检验m
证明嘛，是由于1/7余1；10/7余3； 百与"前项余数3"再乘以10同余于7， 余2； 千与"前项余数2"乘10同余，余6； 以下60/7余4； 40/7余5 ；50/7余1； 再以下又是
3,2,6,4,5,1

————不知这个检验是否太繁了？ 另，这是在十进制内的讨论； 譬如推广到23进制内又如何？ [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 lizh714285 在 时添加 -=-=-=-=-
请老师原谅，（俺承认您可以做我的数学老师） 就不翻译成数学语言了。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 lizh714285 在 时添加 -=-=-=-=-
俺的笔名 714285
还是与7有点关系的呀

luyuanhong

下面是一种判断多位数能否被 7 整除的方法。

这种方法，是几十年前，当我还是一个小学生时，自己独立想出来的。

当然，现在看起来，这也没有什么了不起，在历史上，肯定早就有人想到这种方法了：

luyuanhong

下面是一种判断多位数是否能被 19 整除的方法（与 7 的整除判别法正好是一对）：

elimqiu

如果 n = 10a + b  (b < 10), 那么有 11|n 当且仅当 11|(a -b)
如果 n = 1000m + k  (k < 1000), 那么也有 7|n 当且仅当 7|(m -k)

luyuanhong

下面是一种判断多位数是否能被 13 整除的方法：

lizh714285

是否和有限群有关呢？
将自然数集N划分为7个子集 N0,N1,N2,N3,N4,N5,N6
n属于Ek 当且仅当 n≡k (mod7)
以3为生成元，3， 3^2≡2 (mod7)， 3^3≡6 (mod7),   3^4≡4 (mod7),
3^5≡5 (mod7),    3^6≡1 (mod7) 六个元素 ； 关于普通乘法后模7取余，构成了一个群。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 lizh714285 在 时添加 -=-=-=-=-
不对，这是加了“保余数不变”要求[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 lizh714285 在 时添加 -=-=-=-=-
有了，仿照3楼陆老师的办法
一个数 将个、十两位截去， 然后加上（截去的两位数*4） 然后再乘以2
这个数与前一个数同余于7

luyuanhong

下面是一种判断多位数是否能被 17 整除的方法：

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/04/29 05:42am 第 1 次编辑]


k 10^r + m p = 1 中的 k,m 的求法是辗转相除法。

ccmmjj

说实话，在这方面，我是专家。比如说7和11及13，有一个统一的方法。
如123456788分割为123，456，788。然后计算123-456+788=455因为455能被7和13整除，所以123456788能被7和13整除；因为455不能被11整除，所以123456788不能被11整除。当然，对其它数还有不同的判别法，但这都没什么意义。现在的学生都使用计算器，谁还用手算？啊，对了，你们一定会问这样做的理论基础。拙作“无言猜想的证明”即为此理论基础。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ccmmjj 在 时添加 -=-=-=-=-
123456788能不能为37整除？解法123+456+788=1367，1+367=368=370-2不能被37整除，所以123456788不能被37整除。
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