[求助]实变函数

周艳辉

若E的所有聚点所形成的集合是可列集，那么E是可列集。

lizh714285

[这个贴子最后由lizh714285在 2010/05/03 00:10pm 第 1 次编辑]

对呀
可以这样证明，
引理：只有一个聚点的集合，是可列集合。
证明：若集合A只有一个聚点a， 于是对于数列{1, 1/2, 1/3, 1/4，....}中的
每一项 1/n 都有：在a的1/n邻域之外 仅有有限个点属于A (除去a以外A无聚点)；
这有限个点组成集合 A(n) (是有限集合)；
如果a属于A，记B={a}, 否则，令B=空集。
于是，A =  B U A(n)  （并集是 n从1并到无穷）
可列个有限集合的并集是可列的，所以A是可列集合，引理证毕
已知E的聚点可列，设E的聚点组成的集合（术语称为E的导集）
D(E)={d1,d2,d3,......dn，.....}。  （di 为E的各个聚点）
记 ε=inf{x| x=|di-dj|,(i=1,2,3,4,....),(j=1,2,3,4,....),(i不等于j)};
对E做如下划分：对E中元素x按顺序考察di,如果x在di的ε邻域中，则将x归入E的子集E(i)；
如果按这个规则x不能归入任何E(i);将x归入E的子集EZ；
EZ必是有限集，否则，EZ中可有一个聚点，这个聚点也是E的聚点，而在这个聚点的ε邻域内的各点就不能属于EZ，而应属于该聚点对应的E(k)。
于是，E= EZ U E(n)  （并集是 n从1并到无穷）
这里，E(n)为只有一个聚点的点集依引理E(n)可列；EZ是有限集
可列个可列集的并集仍可列，可列集与有限集的并集仍可列，所以,E是可列集

周艳辉

能不能用一种比较简单的方法啊

lizh714285

直接证明也可以，
本质是构造一个递减的趋于0的正数数列εi，那么，
E - U（“各个聚点的εi邻域内的”E中之点，）就是有限的。
将上述各个有限集并起来，是可列的。
E中还剩下的就是那些属于E的，E的聚点，也是可列的，再并一下就是E了。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 lizh714285 在 时添加 -=-=-=-=-
聚点可能属于E,也可能不属于E,
属于E的那些聚点，构成一个可列集
D(E)-E
E中的非聚点，按本贴方式，构成可列个有限集的并集，也是可列的。
将属于E的聚点和属于E的非聚点并起来，就是两个可列的并集，还是可列的