【求教】：这是哪个方面的问题？

天元酱菜苑

有这样一个题目，有几种解法，殊途同归。但老师却说其他解法跑题了......
已知f(x)是定义在(0,∞)上的连续、可导函数。 对于定义域上的任意x,y,
都有：f(xy)=f(x)+f(y), 导函数f';(x)在x=1处的值是1， 求f(x)的解析表达式。
同学A的做法：  
1）  f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)  =>  f(1）=0
2）  f(x^n)=f(x*x^(n-1))=f(x)+f(x^(n-1)) =>  f(x^n)= n f(x)   (n是自然数)
3)   f(x*(1/x))=f(x)+f(1/x); f(x*(1/x))=f(1)=0   =>  f(1/x)= - f(x)
4)   nf(x)=f(x^n)= f(x^((n/m)*m))=mf(x^(n/m)) =>  f(x^(n/m))=n/m f(x)
5)   f(x^(-m/n))=f(1/x^(m/n))=-f(x^(m/n))=-(m/n)*f(x)
6)   f(x)连续，所以对于实数a,b,(a>0) 有 f(a^b)=bf(a)
7)   对于实数x大于0，  f(x)=f(e^(ln(x)))=(lnx)*f(e);
8)   f';(1)=1   =>   f(e) /1=1  => f(e)=1
所以：f(x)=ln x
同学B的做法：
1） f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)  =>  f(1）=0
2） 由导数定义： f';(x)=lim （f(x+Δx) - f(x))/Δx
                     =lim  (f(x*(1+Δx/x))-f(x))/Δx
                     =lim  f(1+Δx/x)/Δx
    用罗比达法则和连续性：  f';(x)= f';(1)*1/x
3) f';(1)=1  =>  f';(x)= 1/x
4) 不定积分，得 f(x)=ln(x)+c
   但f(1)=0 即 c=0   =>  f(x)=ln x
老师说A正确，B答案正确但方法跑题了。