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似乎，人的认识能力，天生就是结构主义的。结构主义是希望寻找某种客体和主体认识之间的，某种一一对应的关系。可是观察本身就必须是和时间相关的，没有时间，任何规律也就无法产生任何现象，于是结构主义自身的静止的先验的假设，原本就是一个悖论。所以退一步说，结构主义必须是一系列”变换”组成的，而不是一系列原子所组成的。因此，构造本身的表述就是重复的叙述一下自己是如何”被””构造自身的规律所构造的，于是便成了一句废话。因为这种表述是自说自话，所以说宇宙万物和运行规律都是阴阳五行构成的，没法驳倒----我甚至可以简化为阴阳三行，同样可以发展出一整套完整的理论来。真理成了一个循环，那么真理本身就和诡辩没有什么区别了。只是在我们自己的大脑中，思考问题的时候常常省去顺序的约束。任何系统都有惯性，所以结构主义努力消除时间轴对于事件规律的影响，建立一种静止的绝对的真理。因此结构主义最终都会导致先验论，而先验论只有在天国里面才不会被驳倒。
另一个方面，结构主义，是一种希望世界能够被理解的理想所驱动的。如果对于一个外在，它是人造的(例如计算机)，那么结构主义是非常完备的，是可以解决所有的认识问题的，因为认识的对象是后验的。而对于先验存在的世界，无论是自然，还是人自身，结构主义本身则陷入了某种功利主义：为了解释而去解释，因为原因是无穷远之前的某个先验的条件。虽然人们在事实上已经得到了很多普遍的多样的结构，但是事实似乎能表明，这种结构化的表述永远都是不完备的，只是站在观察者角度描述的一个近似而已。因为结构主义要求自恰，那么就一定要是一个自运算封闭的代数系统----所以它无法处理时间轴的变化问题，不承认观察者的局限性，所以也就陷入了片面主义和静止主义了。有限的语言终究无法完全的表述全集的概念-----道。确实很荒谬，但是人们总是希望在有限的时空里面能理解无限的时空，所以总是寄希望于某种自身封闭的转换体系，也许这是一个心理学的必然。结构主义要求自恰----但是这恰恰是个悖论命题，自恰的前提只能是假设某几个最基本的公理正确，不可论证。人们总是试图寻找唯一正确的答案，就好像，在群中，方程的解是唯一的。如果多了的话，人就不能思考了。
所以很明显，为了避免失败，结构主义采用了抽象的办法，就像抽象代数一样。注意，抽象代数之所以抽象，也就是符号本身的意义是不确定的。例如讨论多项式分解的时候，多项式的上下文语境可以是整数，实数，复数，甚至是群环域的代数运算，或者更加抽象的算法表达和推理的式子。不能仅仅看成一个代数的自变量取了x=….具体的数值。这样一来，代数的研究问题就简化成了系数的分解问题，可以借助数论的基础理论来进行研究。把所有的计算问题都变成基本的自然数问题，这就是抽象代数要做的事情。计算的问题如果复杂度可以表示为多项式，那么就是可计算的。所以可计算问题的核心是多项式复杂度求解问题。对于已知的可计算问题，分解的过程就是多项式的因式分解的过程，由于不考虑变量的具体含义，所以对于多项式的分解而言，只需要考虑系数集合的性质，所以可规约问题就变成了可因式分解问题，其数学特性也就成了整除和互质的问题的研究。到了这里，高等代数，抽象代数，数论，被统一了起来。问题抽象化，更抽象化，更更抽象化，以至于无穷。结构主义必然导致无限的回溯，也就是需要研究更加基本的概念，概念->元概念->元元概念。就像自然数有+-*/一样，那么更一般的群呢? 有没有加法和乘法? 那么首先就要定义，什么是加法? 符合交换率的代数运算是加法。什么是乘法? 符合结合律的代数运算叫做乘法。所谓的规律，也就是变化当中不变的东西，在理念的空间里，这种不变性说白了就是创造一个对于运算封闭的代数系统。
但是，结构主义还是失败了。因为结构主义必然导致悖论，最基本的形式就是罗素的集合论悖论。
当结构主义不能工作的时候，统计学就扮演了救火队长的角色----但是，统计学不是真理，因为不符合归缪律，它总是两可之间徘徊。结构主义为什么要分层? 描述复杂度和验证复杂度的和较少了，就像格式转换的中间格式一样，力图用最少的语言描述最多的性质。正因为结构主义的静态特性，它总是期许自己能够设计出一个不再需要改进的系统----实际上是这种系统设计出来了以后，难以改进，因为它难以支持进化。要达到进化的效果，系统就不是基于结构的，而是基于不断的构造和重构。系统需要有自我修正的机制，否则走向毁灭。
那么，既然构造主义本身并不考虑什么是意义，而是让意义在进化的过程中自我产生，那么它就很依赖于初始条件，这个是构造主义的弊病----混沌。正是由于u不断的自我重复，反馈，自组织，意义便在无意义当中产生了。构造主义还有一个弊病，对于复杂系统而言，由于约束条件众多，过程复杂，因此成功不可复制，每一个具体的系统都是独特的----就好比每一片树叶都不一样，世界的多姿多彩恐怕就是从这里面来的吧。
歌德尔定理出来的时候，大家发现，我们的方法论都错了。问题的解答不是在已知中寻找规律，而根本就是创造一个规律去符合已知。但是已知和可知是无穷的，如何用有限的语言去描述它呢? 歌德尔给出了答案----递归。先求解最基本的问题，然后把求解的过程参数化并配合上归纳的过程，于是就能用有限来表达无穷。从形式化的语言来说，因为每一个多项式因子，例如(x-1)^n，都可以通过(x-1)的计算n次递归得到，所以寻找到的因子(x-1)也就是最基本可解问题。因此递归的基本问题就是寻找最小子问题的问题。具体一点的说，一个问题包含n个子问题s1-sn。那么求解n需要的计算次数C，一定可以整除所有自问题的求解次数C1-Cn，这似乎是平凡的，也是群论的拉格朗日定理试图说明的。可计算问题一定是多项式问题，如果是指数，阶乘之类的，N大了以后就一定是不可解的。
寻找最小子问题，就是简化问题的过程，就是规约的过程，而基本问题就是不能再规约的问题，形式上就是质数，或者某个特定数域上的最小多项式。所以基本问题的研究也就归结为质数性质和不可约多项式性质的研究。更复杂的问题可以从质数和不可约多项式出发，通过某些规则来生成。这样做的好处是明显的，例如，证明的方法分为存在性证明和构造性证明。当存在性证明无从下手的时候，可以考虑构造性证明。例如，立体几何里面的欧拉公式，反映了任意多面体的点线面之间的约束关系，如何证明呢? 这个过程等价于，从一个最基本的多面体出发，把欧拉公式作为一种状态转移的方程，那么我们可以构造任意的多面体。命题就得证了。构造性证明充分运用了归纳递归的思想，用有限的语言去描述了无穷的证明。
当然，寻找子问题的问题，是所有可计算问题的核心，它不是自明的。形式系统的构造才是计算机学科的核心思想
递归推导最简单的情形，就是求两个合数的最大公约数gcd(N,M)
(1)基础: 如果N=M则输出M。
(2)递归: 如果N，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
直觉主义的解答是什么? 不去求最有解，而是迅速求次优解，也就是按照单位重量的价值，从高的往低的装。如果刚好装满，那么就是最优解了。如果不是刚好，那么看是否能装下尽可能大的。如果装不下，看是否可以回退一个包裹装入性价比稍低但是更能装满的选择。回退知道更进一步的回退不能带来更好的解。于是推理结束。这种直觉主义的复杂度很低，而且达到最优解的期望非常大。直觉常常是正确的。
但是如果一定要求解呢? 递归的过程就是一个状态转移的过程。设第i件物品的体积是c，上面的直觉主义的求解，并没有清洗的表示出，回退的过程应当是如何进行的。
那么，用子问题定义状态：即f[v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。考虑直觉主义得到的"如何回退"则其状态转移方程便是：
f[v]=max{f[i-1][v]，f[i-1][v-c]+w}。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放）----
(1)那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；
(2)如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w。
注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N][V]，而是f[N][0,1,2,3...,V]的最大值，因为不一定能够刚好放够W。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N][V]就是最后的答案，因为f[v-1]可能对应更小的w，使得可以继续增加物品，而且这个回退是完全的。所以整个过程就是3重循环。
构造的基本工具就是语言，语言的作用就是描述: 这就好比一个程序设计语言要服务于两种目的，它为程序员提供了一种载体，使他们能描述需要执行的动作；它还提供了一组概念，程序员借助于它们思考什么是能做的。但是，语言一旦确定，那么它的意义集合就是有限的，所以任何表述都不能涵盖一切的问题。所谓的名可名，非常名。因为构造本身是一个过程，是在过程中得到验证的，所以没有什么可以先验地证明，用于构造答案的语言本身，对于解决问题而言，是足够完备的。所以构造主义和结构主义一样，同样容易陷入到经验的泥潭，就好像人最难以战胜的敌人就是自己一样。
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发表于 2010-5-27 18:04
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