[讨论]尺规作图与数学的确定性

bua1s2d3

    在数轴上确定了原点0及单位1之后，则就能在理论上正确地在数轴上标出数（根号2)的位置，这是因为（根号2）是能用尺规法给出来的。对于数（立方根号2）来说则情况就不一样了，因为数（立方根号2）没有办法在现在用尺规法或者其他的方法给出来，尽管知道有1＜（立方根号2）＜（根号2）这样的数学关系，却也无法在数轴上标出点（立方根号2）的正确位置。    所以，在数轴上存在着两种可能。一种是有象点（根号2）那样可以正确表示位置的点，另一种是有象点（立方根号2）那样是无法正确表示位置的点。除此之外，还存在着第三种情况。例如在数轴上有一任意点a，因为这个可以用来表示实数的点a不能象（根号2）或者（立方根号2）那样更具体地表示出它是一个什么样的数来，这也就无法判断点a究竟是能正确地在数轴上表示出来的点，还是不能正确地在数轴上表示出来的点，也就是说点a有着一种不确定性。这样也可以推出在数轴上的其他一任意点（例点b）也存在着一种不确定性。
    在几何作图中，用圆规在直线上截得一线段是可能的，所以，用圆规在数轴上截得一任意长线段也同样是可能的。假如所截成的线段ob的一个端点是原点0，则另一个端点b就可以在数轴上表示了它是一任意实数b。这样，一方面任意点b是可以“实实在在”地用圆规截得的（满足尺规法要求），也就是说可以正确地在数轴上标出任意点b它的位置的。在另一方面，也就是上面所提到的任意点b存在着一种不确定性。    所以对于任意点b，如何理解它在数轴上标出它的位置的可能的讨论，就涉及到了对数学确定性的探讨内容。  （ 上面的内容其实大家都是熟悉知道的，只不过大家并没有去特别地关心它们） 虽然上面的讨论一时半会还看不出它们在数学研究中能够会起多大的作用，但是如果把几何三大难题放在一起讨论的话，数学确定性的重要性也是会慢慢地显露出来的 。有兴趣的可以看看网址为“揭示几何三大难题不可能论述的破绽”的一文。
      有人认为数学是好玩的，数学是美丽的。          尺规作图在告诉这些人，数学也是一个旋涡，退出来就是失败，走了进去就会没有了方向。——————数学不是一个很容易就能去搞探索研究的学科。

王会森

劈法：三等分角在等比线段中的存在

一，尺规作图是指仅使用无刻度的直尺和圆规，通过有限次操作解决平面几何作图问题的数学方法‌，
尺规作图需严格遵循五项前提和五项公法：
‌五项前提‌：允许在已确定范围内选点、判断点线位置关系（如点在直线哪侧）。‌‌
‌五项公法‌：
过两点作直线。
已知圆心和半径作圆。
求两直线交点。
求直线与圆交点。
求两圆交点。‌‌
所有复杂作图均通过有限次组合上述操作实现，工具禁止使用刻度或测量功能。‌‌

二，劈法：在尺规作图规则下对等比性质的应用，包括下面几个形式
a*b=c*d
[m^(n+1)]/[f^n]=g
[h^2]=j*k
上边第二个第三个都是第一个的特殊形式，可以根据相似三角形定理和园内相交弦定理做出上边三种形式。
劈法可以在欧氏平面上对一些纯乘积表达式作因式分解。

三，三等分角：给定一个任意的直角三角形，令
斜边C=1，
其中一个直角边
E=a*b= 3x- 4x3
=[(3x)^0.5- (4x3)^0.5]*[(3x)^0.5+ (4x3)^0.5]
有a=[(3x)^0.5-(4x3)^0.5]，
有b=[(3x)^0.5+(4x3)^0.5]
重要的，作辅助线
D=[a^(1/33)]*[b^(1/35)]*[e^1]，
根据前述劈法，在有限次操作内，可以得到长度为a的直线线段和长度为b的直线线段[需要正确的作图路径]，进而作出三等分角〔请验证〕。
对辅助线D的要求，a的指数和b的指数，至少有一个必须是分数并且分母必须是两个互质奇数的乘积并且分子与分母互质。

四，本文所述劈法，虽然可以明确证明三等分角可以尺规作图，但是该作图方法在事实上很繁琐，应该还存在有其它比较方便的作图方法。