实数集的一个性质

fleurly

实数集的完备性：
      对于实数集， 它具有完备性， 也就是说， 实数集中的任何柯西列都在实数集中收敛。
    这个说起来可能有点绕口， 因为极限理论中有一项定理：柯西列收敛。 所以， 看上边这句话， 难道柯西列还有不收敛的吗？
有理数集合不具备完备性， 比如说pai=3.1415926....是一个无理数， 我们可以构造一个有理数列，3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415.....,它是一个柯西列， 但是它不在有理数集中收敛。它的极限是pai, 是一个无理数。
    因此可以说， 对于任意一个集合X, 并且定义了函数f(x),对于其中任意一个元素x,定义一种运算f,使得f(x)是实数。那么, 就可以构造X中的柯西列,(以f(x)代替x的运算)，任意一个柯西列都存在极限，但是这个极限不一定在X内。 如果我们把所有柯西列的极限组成的集合记作X';, 那么集合(X+X';)就是完备的， 也可以看作是X的完备化结果。

申一言

数学好玩！
    要玩的符合大自然规律！
否则就不好玩了！