[讨论]数学中实数的相关概念与尺规作图

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    数学中实数的相关概念与尺规作图
     自然数可有一定的顺序排列，例：1；2；3；......。可以看到，2紧跟在1之后，3紧跟在2之后，3没有直接紧跟在1之后。搞数学的人抽象出了一个“直接后继”这样一个概念。所以，2就是1的“直接后继”。可以观察到：一个自然数的“直接后继”与这个自然数仅相差一个单位量。
     自然，很多的人都会说：只要上学读过书的人都会知道这些的。
          下面谈的是实数。
    搞数学的人会告诉别人，任意取两个大小不等的两个实数，在这之后，至少能找到一个实数，这个实数比任意取的一个实数大，但又比另一个任意取的实数小。因此给出了一个实数与实数的关系 ，它们是“连续”的。
    但是，搞数学的人还搞了另外一个工作，他们把实数分成了两类，有理数是一类，无理数则是另一类。在对实数进行按大小顺序排列时，可以看到，这种分类和排列将会出现下面的结果：有理数的“直接后继”可以或者可能是无理数（或者无理数的“直接后继”可以或可能是有理数）。也就是说在有理数和无理数之间有可能找不到另一个实数，这个实数会比一个实数大，但又比另一个实数小。这种分类在告诉人们，实数与实数之间的关系可以“不连续”。这是一个令人困惑的内容。
    搞数学的人又把实数分成能用尺规法给出的实数和不可能用尺规法给出的实数两类。这样的分类也会出现一个结果：一个能用尺规法给出的实数与一个不可能用尺规法给出的实数它们可以或者可能互为“直接后继”。
     在现代数学中，实数有代数数和超越数的分类，两类数中的数可以或者可能互为“直接后继”。
             所以说，一些数的分类是很有意思的。
     实数还可以作为一个集合来讨论，所以也就有了实数集合；有理数集合；无理数集合等。有理数集合是实数集合的子集，作为有理数集合的补集或者余集的无理数集合也是实数集合的子集。
      实数又可以作为一个域来讨论，所以也就有了实数域；有理数域等。实数域是有理数域的扩充域，有理数域则是实数域的子域。但是有理数域没有补域或者余域能成为实数域的子域，那么实数域该算是什么呢？所以说关于域的定义也是很有意思的。
       为什么有那么多的人在继续研究着尺规作图中的几何三大难题？也许就是上面的内容等给了这些人一些有意思的提示了吧。

wanwna

[这个贴子最后由wanwna在 2010/08/09 01:07am 第 2 次编辑]

补域，余域？是什么意思？
域者，交换除环也。
另外，特征0的域都会含有且只含有一个子域与有理数域同构,换而言之,有理数域是最"小"的特征0域

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2010/08/09 08:36am 第 1 次编辑]

这个域那个域对吗？
    只有单位域是符合大自然规律的实实在在的“数域”！
  在基本单位圆中：
  令 R=√2n,n=1,2,3,,,
所以 r=√2n/2,
        _________
    h=√rˇ2+rˇ2=√n,------基本单位群！（内接正方形的边长：线段）
hˇ2=（√n）ˇ2=n"---------单位群！    （内接正方形的面积：面积）
Rˇ2=（√2n）ˇ2=2n"-------偶合数群！  （外切正方形的面积：面积）
   在纯粹数学中没有无理数；只有表示空间形--线段的量---基本单位！
   √n=1';,√2，√3, 2';,√5，√6，√7，√8, 3';，，，，
       *            *                      *
   注意！ 标有*号的是完全平方数！ 1,4,9,16，，，iˇ2.
  因此在此之前对于“数”的分类有许多是错误的！
  纯粹数学的理论基础是表示空间形的量，应该是基本单位圆中的相关的，基本单位，单位，P进制单位，二次域单位，，，！
        个人见解，仅供参考！