求一个复函数和的模的极值

GavinShu

各位老师好，我最近遇到一个求复函数和的模的极值问题，想了几天推不出结果，想请教各位老师，万分感谢。

函数形式为

其中 A 为整数，B 为实数，通常 N>2A，我想求 |f(\phi)| 在 \phi∈[0, 2π] 区间的极大值和极小值。

最开始我尝试对 f(\phi) 求导数，并令导数为零。但是导数零点我依然不会求，后来发现这是复函数，这种方法可能是错误的。

我还用 Matlab 仿真了 |f(\phi)| 的曲线，得到如下结果

仿真参数为 A=2 和 3，B=4.2，N=7。这些参数都是实际中遇到的值。

根据仿真结果我发现在 \phi∈[0, 2π] 区间，有 N 个极大值和 N 个极小值，它们呈周期分布，且周期为 2π/N。但是我不知道如何从数学上推导出这个结论。

以下是我的 Matlab 代码

1. N = 7;
   
2. B = 4.2;
   
3. A = [2,3];
   
4. phi = linspace(0,2*pi,361)';
   
5. 
   
6. f = zeros(361, 2);
   
7. for iA = 1 : 2
   
8.     a = A(iA);
   
9.     for n = 0 : N-1
   
10.         phin = 2*pi*n/N;
    
11.         f(:,iA) = f(:,iA) + exp(1i*(a*phin - B*cos(phi-phin)));
    
12.     end
    
13. end
    
14. 
    
15. figure; plot(phi, abs(f));
    
16. axis tight; grid on;
    
17. set(gca, 'XTick', linspace(0,2*pi,N+1));
    
18. ylim([0.5, 5.5])
    
19. xlabel('\phi');
    
20. title('|f(\phi)|');
    
21. legend('A=2','A=3')

复制代码

求各位老师帮忙！万分感谢。