粗暴的数学 武断的高斯

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粗暴的数学   武断的高斯
在当今这个世界上，学过数学的人几乎都知道，数学是最讲逻辑、也就是最讲理的一门科学。但是数学在讲究逻辑的时候，有时也有简单、粗暴、不问青红皂白的割断联系、硬性划分的情况，之后就大言不惭、心安理得的使用起来。大数学家高斯，天赋异禀，在数学上建树颇丰，其中就有“给出了复数的几何解释”，但这个解释高斯证明了吗？没有。没有证明的数学论断一定正确吗？你这个论断也不是数学公理为什么就不需要证明？而且一直使用至今，这是不是武断？下面我来解释这两个问题。
一、粗暴的数学
（一）、虚数产生及其中的关系
设有一个方程：x2=-4
解得x=±√-4＝±2√-1
百度百科上说，形如b√-1（b∈R：的数就是纯虚数。人们在定义虚数后，就得到了大量的运用，数系也扩大了，实数系扩充到复数系。那么问题来了：第一，既然你把b√-1叫做虚数，那就说明你把虚数当做与原来方程式或运算式中的数（如4）是两种数，或者干脆说是两个绝对不相同的数，或者更干脆地说二者互相之间绝对不属于；第二，二者虽然不相同、不属于，但二者是互相关联的：二者同在一个式子中，虚数2√-1是通过对实数4运算（开方）得来的，虚数就好像是实数的儿子，二者不仅有关系，而且关系非常亲近；第三，二者不仅关联，而且相容：虚数不仅生于产于实数，而且逆运算也成立（就本方程式整个运算可以倒推回去），所以是相容的。
上述分析已经非常清晰的展示了虚数与实数的全部关系：二者虽然恒不属于，但关联而且相容，恒不属于、关联和相容是二者全部关系的三个元素。依据三元素出现的顺序排序，二者的关系为：关联但恒不属于却相容。既然虚数与实数的全部关系是这样，为什么人们或我们的数学只拿出来“二者恒不属于”一种呢？其原因：一是此前人们还没有厘清二者的确切关系。这也是自虚数诞生后像幽灵一样长期困扰人类的根本原因之一；二是即使人类发现了这种关系，人们也很难把“恒不属于”、“但关联而且相容”这样纠结、矛盾、近乎不合逻辑的思维或语言纳入到我们现有的所谓的逻辑中，即使你是真实的。因为这种关系（语言）在此前还从未发现，所以我称之为“超级关系”。
（二）、√-1的真实身份及真实含义
  前面已经知道，在解方程x=±√-4＝±2√-1 的过程中，解得的结果±2√-1与原方程中的实数（4）的关系是超级关系“关联但恒不属于且相容”。在虚数的超级关系的三个元素中，关联和相容关系已经得到论证：生于斯长于斯，而且可逆。这一点应该很好理解。那么剩下一个元素“恒不属于”是什么意思呢？要了解恒不属于的具体含义，我们从分析√-1的真实含义开始：
A、√-1的真实含义。分析方程的根±2√-1 ：前面已经证出±2√-1恒不属于实数，分析±2√-1我们看到，根中的±2是属于实数的，那么除去±2就只剩下√-1了，因此只有一种可能就是√-1是代表“恒不属于”的，也就是说“恒不属于”这个表示关系的词语，在式子中（或运算中）是以“√-1”的形式出现的，恒不属于就是√-1，√-1就是恒不属于。
B、√-1的真实身份。进一步对±2√-1分析还发现：±2是实数，当加上√-1后，就不是实数了，即当√-1与任一实数（比如b  b∈R）结合形成的数b√-1的形式后，恒不属于任何实数。这证明√-1具有把数“区分为不同类的数”的功能，所以，√-1还是区分不同类数的数学标志或符号，简称分类标志或分类符号。
综上所述，√-1（i）天生的真实身份和含义是：√-1（i）是表述实数与虚数内在本质联系“恒不属于”这一关系词语的分类标志符号，在算式中“恒不属于”关系一词由√-1表示。如果像现在人们把bi（b∈R）类的数称为虚数的话，则i就是虚数符号或虚数标志，√-1天生就是表示恒不属于关系的符号标志。而现在所说的虚数单位，只是后天人们添加的称谓，是错误的。
（三）、数学的粗暴
我们知道，数学是研究数量、结构、变化、空间以及概念一门学科（百度百科），那就必然需要研究对象中的各种关系、数量等等，可以说，如果没有各种实质关系作为内核支撑，数学也就不成其为数学了。虚、实数间的超级关系是最真实的存在，但我们的数学却只取其中的一部分拿出来加以运用，必然割裂这种关系本身，当然更不利于我们对复数的概念、几何构造、√-1（i）真实含义等的深入研究，妨碍了对虚数真实面目的进一步认识。
如此，数学就把类似不属于、不合逻辑但又相容的东西接纳过来，既没有解释也没有说明，而我们的数理逻辑、证明论照常使用。够粗暴吧！其实，恰恰是虚数超级关系的全部，揭示了虚数中的秘密。
二、高斯的武断
    伟大的数学家高斯给出了复数的几何解释。他不仅把它表示为复平面上的一个点，而且阐述了复数的几何加法和乘法。如图1
           
图1   复数的几何表示（见附件1）
上述就是今天正在广泛使用的复数的基本几何解释。在高斯没有作出复数的几何解释之前，虚数问题一直困扰着人们，但当有了几何解释之后，许多人包括许多数学家一下感觉到舒畅、明亮了好多，认为虚数清楚了，问题解决了。但是现在我们要问的是，复数的几何表示是怎么来的？为什么一涉及到i就旋转90°？证明了吗？没有！既然这些问题也不是公理，还没有证明，那么它们正确吗？只能说不一定正确。今天看来没有证明大概有两个原因：一是无法证明；二是没有给高斯时间证明。但出于无论什么原因，对从未得到证明却一直使用至今的虚数理论来说，都是不公平的，也多少有些武断。下面我们分两步解决虚数的几何表示问题：建构复平面坐标系，它是一种新的、不同于笛卡尔坐标系的坐标系；在新的坐标系中描述复数的几何表示。
（一）、建构复平面坐标系
要想解决复数的几何解释问题，首要的问题是建立复坐标系，没有坐标系，到哪里去做“几何”解释？虚数与实数“关联但恒不属于却相容”关系确立了了复平面坐标系的构造，决定了复数的几何表示：
1、构建关联关系
设 有两条线段OA和OB  令线段OA=a a∈R； OB=b b∈R O是两条线段的公共点
∵ 不论两条线段的位置如何 a、b在O点都结合或联接
∴b与a相关联 关联关系建立。
2、构建归属关系
由证明1得，a、b在O点关联，两线段的位置关系只有两种情况：一是在同一直线上；二是不在同一直线上.
如果是第一种情况，则a、b同属于一条直线，表明b与a具有归属性，此结论不符合“恒不属于”的要求。所以我们只能考虑第二种情况：b与a不在同一直线上。按此要求
设 OA、OB联接并形成夹角  顶点O
  此时b与a形成“关联”、“不属于”的关系
当线段OB上的所有点都距离线段OA最远时，即OB⊥OA时（如图1）不属于程度最高，即达到“恒”不属于的程度，即b恒不属于a，由于√-1（i）是“恒不属于”关系词语的数学标志，因此b可用bi来代替，bi表示线段b恒不属于线段a，如图2

                          图2（见附件2）
这就是实数与虚数关系的坐标系。OB称为虚轴。
3、施行相容关系
由于a与bi具有相容性，所以可写成a+bi（相加）的形式；而又因为a与b具有相互垂直的几何构造，所以a+bi的运算符合向量的运算规则。即现在正在使用的复数运算规则。
结合数的分类情况，a+bi应该写成a+b√-1，我们可以清楚地看出a+b√-1（或复数a+bi）不过是带有类的标志（或符号）的不同类的数相加而已，√-1只是代表某种关系的符号，因此复平面的点（a,b）才完全可以与复数a+b√-1相对应。几何表示的图形与图1相同（证明略）。
综上所述，我们就证明了复数中虚数与实数关系的几何构造与运算规则。高斯等人给出的关于复数的代数运算的几何解释与本证明相符。
四、虚数的概念
在明晰了√-1的真实身份和真实含义以及虚数与实数的几何构造后，我们给出完整的虚数概念：虚数是在对负数进行开方运算中产生的，与实数（或实数集）具有“关联但恒
不属于却相容”关系的一类数；√-1（i）是区分不同类的标志符号，表示“恒不属于”关系；虚数的关系体“关联却恒不属于但相容”确立了复坐标系，决定了复数中虚数与实数关系的几何构造。