设 12 个星座出现的概率相同，求直到连续三次遇到相同星座为止所需询问次数的期望值

wintex

請問期望值

luyuanhong

wintex

luyuanhong 发表于 2020-5-20 00:25

想在請問

luyuanhong

像这一类的题目，如果直接求概率，然后按照期望值的定义来求期望值，是非常困难复杂的。

但是，如果按照我在第 2 楼中那样的方法，通过递推关系来求期望值，就非常容易了。

第 2 楼中给出的 E0,E1,E2,E3 之间的递推关系，都是根据 E0,E1,E2,E3 的实际意义写出来的。

下面以递推关系式 E2 = 1 + (11/12)E1 + (1/12)E3 为例：

E1,E2,E3 的实际意义分别是：在已经连续遇到 1 个、2 个、3 个相同星座的情况下，再继续询问

下去，直到结束为止，所需要的平均询问次数。

在已经连续遇到 2 个相同星座的情况下，再询问 1 次（这个 1 就是递推关系等号后面那个 1 ），

后面有两种可能：

一种可能是，以概率 11/12 遇到一个与上次不同的星座，这样，连续两个相同星座就被打断了，变成

只有连续一个星座的情况，再询问下去，到结束为止，平均需要询问 E1 次。

另一种可能是，以概率 1/12 遇到一个与上次相同的星座，这样，连续两个相同星座就变成连续三个

相同星座的情况，再询问下去，到结束为止，平均需要询问 E3 次。

综合上面的分析可知，在已经连续遇到 2 个相同星座的情况下，再询问下去，到结束为止，平均需要

询问 1 + (11/12)E1 + (1/12)E3 次。

但是，反过来想一想，按照原来的定义，在已经连续遇到 2 个相同星座的情况，再询问下去，到结束

为止，平均需要询问 E2 次。

这样两个平均询问次数，应该是相等的，所以有关系式 E2 = 1 + (11/12)E1 + (1/12)E3 。

其他几个递推关系，也是按照同样的道理给出的。