求证:2n^3+3n^2+n一定是6的倍数。

费尔马1

求证:2n^3+3n^2+n一定是6的倍数。

大傻8888888

分解因式后得：
n（n+1）（2n+1）
n是6的倍数
n是3的倍数，则n+I是2的倍数
n+1是3的倍数，则n是2的倍数
n和n+1都不是3的倍数，设n=3m+1，n+1=3m+2，则（2n+I）=6m+3=3（2m+1）同时n和n+I必有一个是偶数。
总上所述，原方程必是6的倍数。

大傻8888888

分解因式后得：
n（n+1）（2n+1）
n是6的倍数
n是3的倍数，则n+I是2的倍数
n+1是3的倍数，则n是2的倍数
n和n+1都不是3的倍数，设n=3m+1，n+1=3m+2，则（2n+I）=6m+3=3（2m+1）同时n和n+I必有一个是偶数。
总上所述，原方程必是6的倍数。

大傻8888888

分解因式后得：
n（n+1）（2n+1）
n是6的倍数
n是3的倍数，则n+I是2的倍数
n+1是3的倍数，则n是2的倍数
n和n+1都不是3的倍数，设n=3m+1，n+1=3m+2，则（2n+I）=6m+3=3（2m+1）同时n和n+I必有一个是偶数。
总上所述，原方程必是6的倍数。

费尔马1

大傻8888888 发表于 2020-5-28 20:17
分解因式后得：
n（n+1）（2n+1）
n是6的倍数

老师您好:非常感谢老师关注！
老师的:
n是6的倍数
n是3的倍数，则n+I是2的倍数，这一步不明确，例如n=6，n+1=7，7就不是2的倍数。您说是不是啊？
学生我的证明如下:
求证:2n^3+3n^2+n一定是6的倍数。
证明::2n^3+3n^2+n=n(2n^2+3n+1)
运用十字相乘法因式分解，
得，原式=n(n+1)(2n+1)…………(1)
∵n、n+1是连续正整数，
∴二者必有一个数是偶数，即(1)式含因子2；
①当n=3k时，(1)式是6的倍数；
②当n=3k+1时，2n+1=n+n+1=3k+1+3k+1+1=3t，
∴(1)式是6的倍数；
③当n=3k+2时，n+1=3k+2+1=3t，
∴(1)式是6的倍数。
所以，原命题成立。

费尔马1

大傻8888888 发表于 2020-5-28 20:16
分解因式后得：
n（n+1）（2n+1）
n是6的倍数

老师的证明思路是好的，以后文章要力求条理，逻辑严谨，不重不漏，简单易懂。
学生多有得罪，还望老师海涵！

fungarwai

2n^3+3n^2+n=n(n+1)(2n+1)=2n(n+1)(n+2)-3n(n+1)=12C(n+2,3)-6C(n+1,2)

n^2≡n(mod 2),n^3≡n(mod 3)
2n^3+3n^2+n≡2n+3n+n≡6n≡0(mod 2)
2n^3+3n^2+n≡3n^2+3n≡0(mod 3)

费尔马1

fungarwai 发表于 2020-5-28 21:05
2n^3+3n^2+n=n(n+1)(2n+1)=2n(n+1)(n+2)-3n(n+1)=12C(n+2,3)-6C(n+1,2)

n^2≡n(mod 2),n^3≡n(mod 3)

非常感谢老师关注！
老师的方法很好啊！高大上！

大傻8888888

费尔马1 发表于 2020-5-28 20:29
老师您好:非常感谢老师关注！
老师的:
n是6的倍数

      第一步n是6的倍数，所以第二步n是3的倍数当然不包括n是6的倍数。你举的例子恰恰是n是6的倍数。同时第六行有“同时n和n+I必有一个是偶数”，所以逻辑上是没有什么问题。如果第二步改为n是3的奇数倍，那么第三步也要改为n+1是3的奇数倍才合适。

费尔马1

大傻8888888 发表于 2020-5-28 21:32
第一步n是6的倍数，所以第二步n是3的倍数当然不包括n是6的倍数。你举的例子恰恰是n是6的倍数。同时 ...

老师您好:
其实你的思路很好！您的思路与我的思路是一样的，就是忘记了n是3m+2，这个没有什么，我们就是休闲娱乐，共同进步，以后还望老师指点！谢谢老师！