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一道简单的题

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发表于 2020-5-27 23:43 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知k为正整数,设A=k,B=k+1,C=2k+1,
求证:A、B、C至少有一个数不能被6整除。
 楼主| 发表于 2020-5-31 16:08 | 显示全部楼层
请老师们解题,谢谢老师!
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发表于 2020-5-31 21:43 | 显示全部楼层
这道题还要证明吗?C=2k+1是奇数,永远不可能是6的倍数。
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 楼主| 发表于 2020-5-31 22:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 费尔马1 于 2020-5-31 22:35 编辑
大傻8888888 发表于 2020-5-31 21:43
这道题还要证明吗?C=2k+1是奇数,永远不可能是6的倍数。


老师您好:您说的对,学生我出题的时候失误了!我们更改一下题目吧:
已知k为正整数,设A=k,B=k+1,C=2k+1,
求证:A、B、C总有两个数不能被3整除。

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 楼主| 发表于 2020-6-1 07:36 | 显示全部楼层
这个题有几种证明方法,请老师们解题。
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 楼主| 发表于 2020-6-1 08:13 | 显示全部楼层
提示,只要证明A、B、C两两互质即可。
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 楼主| 发表于 2020-6-1 20:23 | 显示全部楼层
再提示:据程氏理论,1是特殊的素数,1与任何素数都是互质的,1与任何合数都是互质的。即1与任何正整数都是互质的。
再根据程氏集合两分法,您看看,1与n互质,那么,n+1就与n互质,再继续,有(n+1)+n=2n+1,所以2n+1与(n+1)互质,2n+1与n互质,∴n、(n+1)、(2n+1)两两互质。
∵n、(n+1)、(2n+1)三个数中一定有一个数是3的倍数(已证),∴另外两个数一定不是3的倍数。
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 楼主| 发表于 2020-6-1 20:24 | 显示全部楼层
本题还有其它的证法,请老师们去寻找证明。谢谢!
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 楼主| 发表于 2020-6-2 08:51 | 显示全部楼层
请老师们指点!
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 楼主| 发表于 2020-6-2 09:07 | 显示全部楼层
证法二:
①当n=3k时,n+1=3k+1,2n+1=6k+1=3t+1;
②当n=3k+1时,n+1=3k+2,2n+1=6k+3=3t;
③当n=3k+2时,n+1=3k+3=3t,2n+1=6k+5=3t+2。
综合以上得,原命题成立。
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