欧拉函数 ∏(1-1/pi)是科学的，正确的

柳林

在素数研究历史上，计算素数密度的公式只有两个。最早的是欧拉函数

∏(1-1/pi)；后来，数学家因为计算误差过大放弃了欧拉公式。普遍采用高斯

的对数的倒数1/Ln作为素数计算的密度。


    我们经过初步研究认为：

    欧拉函数作为素数在自然数中的密度是科学的，正确的，误差小于素数定理。

    但是，欧拉用素数平方作为计算区间是值得推敲的：我们认为用奇素数平方

减1，作为计算区间是正确的。

    欧拉只对漏筛素数有所关注（+i），漏筛的合数没有减除。我们认为，减除

漏筛的合数用系数0.002005352与区间的乘积，恰到好处。

中值定俚：

公式π (pi）^2-1≈（(pi）^2-1）*∏(1-1/pi)+i-0.002005352*（(pi）^2-1）



    首先，我们看看计算结果：

    用第一个密度50%；用第一个奇素数3的平方减1（8）作为区间，计算结果

是4，实际上自然数8以下也只有4给素数，没有漏筛素数。此时没有减除漏筛的

合数。但是，由于公式要求减除，必然会产生误差。好在误差只有0.016个，

误差率只有-0.4%。



公式π (pi）^2-1≈（(pi）^2-1）*∏(1-1/pi)+i-0.002005352*（(pi）^2-1）

    这个公式计算结果虽然是近似值，但是误差小。

    最大的负误差率是-2.79%，它出现在区间N=528时。

    最大的正误差率是+2.79%。它出现在区间N=10的11次方时。

表1   出现最大的负误差率前后计算结果表

漏筛数        素数值        密度%              区间        计算值        实际值        误差率%
0        3        50.0000         8        4.0         4        -0.40
1        5        33.3333         24        9.0         9        -0.53
2        7        26.6667         48        14.7         15        -1.98
3        11        22.8571         120        30.2         30        0.63
4        13        20.7792         168        38.6         39        -1.10
5        17        19.1808         288        59.7         61        -2.19
6        19        18.0525         360        70.3         72        -2.41
7        23        17.1024         528        96.2         99        -2.79
8        29        16.3588         840        143.7         146        -1.56
9        31        15.7947         960        158.7         162        -2.03
10        37        15.2852         1368        216.4         219        -1.21
11        41        14.8721         1680        257.5         263        -2.10
12        43        14.5094         1848        276.4         283        -2.32
13        47        14.1719         2208        321.5         329        -2.28
14        53        13.8704         2808        397.9         409        -2.73
15        59        13.6087         3480        481.6         487        -1.11
16        61        13.3780         3720        506.2         519        -2.47
17        67        13.1587         4488        598.6         609        -1.71
18        71        12.9623         5040        661.2         675        -2.05
19        73        12.7798         5328        689.2         705        -2.24
20        79        12.6047         6240        794.0         811        -2.09
21        83        12.4451         6888        864.4         886        -2.44
22        89        12.2952         7920        979.9         1000        -2.01
23        97        12.1571         9408        1147.9         1163        -1.30
24        101        12.0317         10200        1230.8         1252        -1.69

    N=528时是误差率开始下降的拐点。

表2   出现最大的正误差率前后计算结果表

漏筛数        密度%                区间        计算值            实际值        误差率
                                       

                                       
63        9.68287         97968         9353             9416        -0.67

                                       
166        8.10466         994008         78734       78060           0.86

                                       
444        6.96236       9840768         665859          654804      1.69

1227        6.08908      99460728         5858016         5732087            2.20

3399        5.41685     999002448         52114547         50847534        2.49

                                       
9591        4.87529    9998200080         467401105         455052511        2.71

                                       
27292        4.43305   99996985728         4232410721         4118054813        2.78

78497        4.06382  999966000288         38631622880         37607912018        2.72


227646        3.75127  9999995824728         355073400434         346065536839        2.60
                                       
664578        3.48338  99999820000080 3282836980131         3204941750802        2.43

                                       
1951956        3.25115 999997874844048 30506066839514         29844570422669        2.22

5761455        3.04797 1E+16               284743636394075         279238341033925        1.97

                                       
17082666  2.86868 1E+17          2668146811867740     2623557157654233        1.70

                                       
50847533  2.70932 1E+18          25087799390497300   24739954287740860        1.41

                                       
151876932  2.56672 1E+19  236618671899921000 234057667276344607        1.09


     从表中我们可以知道：

    在10的5次方与10的6次方之间，误差率由负值转为正值。

    在10的11次方左右，误差率为最大的正值2.79%。是误差率开始下降的拐点。

    在10的11次方左右，误差率为1.09%。

    预计在10的23次方左右，误差率将由正转负。

至于是否如我所愿，只能等到计算结果出现的时候了。

    由此扩展到公式下界计算与上界值的计算，效果都很理想。

    由此扩展到双生素数公式计算与三生素数公式计算，除了区间大一点，误差率

的绝对值大一点以外，效果也很好。

    这样一来，双生素数问题；乃至k生素数问题都可以解决。







   

ysr

很对，欧拉公式很重要。1/lnx就是素数的密度，近似的密度。有人把lnx说是x内的素数平均间隔，这个是不对的，概念错误，这个是远远大于实际的。比如100内有25个素数，100内的最大素数是97，所以，97/25=3.88才是100的素数平均间隔，而100/25=4是不对的，有人就是这么算的，显然是大于实际的，概念错位，逻辑错位，最终计算结果就差的太远，算出来的啥也不是，没有价值，参考值都不配。

ysr

lnx就是x内的素数密度的倒数，是近似值，是大于实际的。但这个公式是重要的，因为x/lnx是x内的素数个数的下限，是确定的界线，与不明确不靠谱的东西显然价值不同，不能同日而语。

柳林

x/lnx是x内的素数个数的下限？

当小=8时？

柳林

当x=8时？

费尔马1

请教老师:
学生我对于欧拉函数的理解是:
欧拉函数:Ψ(N)=∏(1－1/pk)，其中，N=p1*p2*p3*p4*……
pk=p1， p2，p3，p4……
意思是，计算正整数1～N之间与N互质的数的数量，例如100以内有多少个数与100互质？
解:100=2*2*5*5
100*(1－1/2)*(1－1/5)=40(个)
其中包括1，去掉1之后，还有39个数与100互质。
请教老师，是这样的吗？看不出来这个方法能求出100以内的素数的个数啊？

柳林

回6楼：区间很重要。必须是Pi的平方减1。

ysr

柳林 发表于 2020-6-2 08:44
x/lnx是x内的素数个数的下限？

当小=8时？

对，应该是x>=8,公式的使用前提就是x>=8.

ysr

柳林 发表于 2020-6-2 08:44
x/lnx是x内的素数个数的下限？

当小=8时？

验证了一下，8/ln8=3，而8内有4个素数，3/ln3=2，而3内有2个素数，所以，x>=3的时候，公式就成立。

lusishun

楼主，有欧拉函数
的说法吗？