张彧典研究四色猜想的主要成果

zhangyd2007@soh

                                                        张彧典研究四色猜想的主要成果
                                                                         四色之巅

       1979年11月，张彧典看到当年《人民教育》杂志第9期中刊发的朱彤《四色定理及其它》的报道文章 。其中 ，给出Appel的预见：四色问题的一个简短证明有朝一日会被发现 ，甚至是被一位因此而一举成名的天才高中生所发现 。正是这个颇具感召力的预见激励他踏上了探求四色问题人工证明的征途 ，40年没有停步 。张彧典在研究四色猜想的人工证明的40年中，经历了不断学习前人已有的研究成果的过程。这个过程 ，就是在不断地肯定或者否定前人、自己研究成果的基础上升华自己的认识 、提高自己创新能力的过程。在这个过程中 ，他的主要研究成果有：
                                                             第一个成果：周期性染色程序的发现

        1986年，韩晓晨（原任山西省阳泉市旅游局局长）无私地帮助他在北京购买了敢峰先生的《四色定理的证明和方法论》专著，其中许多闪光的想法和做法对他启发深刻 。经过认真研读 ，于1991年12月，发现了d(v)=5时，使构形颠倒染色依BAB-DCD-ABA-CDC-BAB四种类型周期转化的四次颠倒染色就是B-D，D-A,A-C,C-B,（返回B-D）。见1994年在山西省教育学院学报《教学与管理》第二期发表的《四色定理的数学归纳法证明》第61页。
       张彧典的这个成果，在1999年 11月得到证实。他在收到兰卡斯特大学图论大家A.Lehoyd寄来的Holrovd F . C . and Miller R .G .于1992年发表 在牛津大学《数学 季刊》43（2）《The examnle that hea wood shold have given》文中，对于第二个范例，就是用上述四次Heawood颠倒染色（简记为H染色程序）时使得构形发生周期性循环 。这个范例在1921年《肯普再研究》中就已经给出，称之为Errera图，
                              
                                                       第二个成果：纠正了卡普卞柯-马路扎解读赫伍德反例的错误
                             
       1996年，他收到河北邢台聂永庆先生寄来的一篇论文, 即张忠辅在1992年自然杂志14卷5期发表的《数学的陷阱》 ，文章中引用了荷兰数学家Capob ianco M., Molluzzo J.G.在《Examples and Counterexemplesr in Graph Theory ,  North-Helland》(1978)中对于Heawood反例的解读 。发现这个解读存在逻辑推理上的错误 ，于是针对其中的错误解读 ，在当年（1996）山西省教育学院学报《教学与管理》第5期发表了《四色猜想归纳法证明中 的陷阱问题》 。其间，得到清华大学林翠琴教授的修改以及指导：如果你能够证明，对于任意极大平面图，经过有限次的颠倒染色，都能够正确4-染色，那将是轰动世界的成果。

                                                        第三个成果：用色链的不同组合确立了Heawood反例构形集

      2000年，张彧典根据前人以及自己构造出的几个Heawood反例构形的结构特征建立了这种构形的数学模型，同时发现已知的几个Heawood反例构形之所以不同，是由于它们的色链组合在这个模型中不尽相同，从而启发他设法利用这种“色链组合”理论，配合H染色程序，构造了难点依次增多的9个有解构形。 经过2年的画图，终于构造了得到9个有解的连续构形。
      当他对九个构形施行H染色程序时，前8个构形顺利得解，第九构形却无法得解 ，产生了四个连续转化而周期循环的构形。用什么方法给这四个构形正确四染色呢？在仔细考察这四个周期循环的构形时发现，它们有一个共同的染色特征，即都包含一个封闭的A-B环，于是发现了“张彧典染色程序”即“Z染色程序”，这种Z染色程序与《肯普再研究》（Joan Hutchinson and Stan Wagon The American Mathematical Monthly Vol. 105, No. 2 (Feb., 1998), pp. 170-174《美国数学月刊》105卷，第2期，1998年2月， 170-174页）中的可约方法不谋而合。论文《肯普证明的完善》发表于2004年第二期忻州师范学院学报上。

                                                    第四个成果：简化了Wernicke不可避免构形

       2011年，张彧典认真拜读了《The Appel-Haken Proof of the Four—Color Theorem》英文稿，其中Appel-Haken在论述他们的构形不可避免集之前，引用并且证明了Wernicke于1904年改进的Kempe不可避免构形集里的第四个构形（不是单个五度顶点的简单构形，而是由两个构形组成：第一构形由两个五度顶点相邻，第二构形由一个五度顶点和一个六度顶点相邻）。                 
       在译读的过程中，基于他长期研究自己所设立的Heawood反例构形模型以及由这个模型所派生的9个构形之深刻认识，发现其第二构形是重复的，因为它可以归纳到第一构形中。于是写了《与“阿沛尔-哈肯证明四色定理”商榷》一文，并且发表于2011年《数学学习与研究》第21期。
                              
                                                     第五个成果：完成了《四色猜想的张氏证明》

       第一：2017年12月，张彧典发现并且证明了一个重要定理：在任何一幅用四色染色的极大平面图中，不可避免地存在至少 “一个四边形之四个顶点用四种不同颜色染色”，简称为“四色顶点四边形”存在定理（即定理1），同时证明了四色顶点四边形的性质定理（即定理2）：
      在四色顶点四边形中，已知对角链被它的相反对角链替换时，只会改变构形的几何结构，而不会改变构形的色图。
       第二：找到了E-族（4个）构形。
      1935年，《美国数学学会会刊》发表了《对已部分染色地图的一组操作》【1】给出赫伍德反例构形的基本模型，同时提出了一个Errera图（即构形），称之为“染色困局”构形。
     《一种试探式的平面图四染色》【2】一文又把Errera图称之为CK图。
      1992年，《已知的赫伍德范例》【3】把Errera图用它的对偶图简化表示出来，就是论文中的范例2。
       为了名称的统一，他把以上3种叫法统一为“染色困局”构形 。
     2018年，他通过解析上述3个同类文献，找到了与E构形同胎的另外3个构形，这4个构形统称为“E-族构形”，分别记为E1,E2,E3,E4 , 同时证明，4个构形都能够使得算法2循环。
    《一种试探式的平面图四染色》中已经通过E1构形证明了一个引理，这就是：
   “引理3.1 ：当初始染色为CK0时，算法2.1循环，并以20种不同染色序列为一个周期” 。
     他通过认真研读明确：这个引理中所说的“初始染色为CK0”，就是初始的色图，“算法2.1”就是H染色程序。通过E族中的4个构形周期循环性分析，证明了它们周期循环的根本原因，主要不仅是因为构形初始染色，而且是因为它们都具有的十折对称性几何结构。为什么认识有差别呢？理由是：文献1、3、4只是考虑到E族中的一个构形即图4中E1的共性---色图CK0循环，他则与文献2一样，不仅考虑到色图循环，而且考虑到E族中的四个构形的共性---几何结构也循环。所以引理3.1 应该描述为：
     引理3.1’：“当具有十折对称几何结构且初始染色为CK0时，算法2.1循环，并以20种不同染色序列为一个周期”。
    这个引理 与  文献2中的范例2 证明的结论互为可逆的两个引理。这时他想到了高中数学中四种数学命题真假性的四种不同组合，于是导出  引理3.1’的否命题一定成立，得到下面      
     定理3 ：“当初始染色的CK0不具有十折对称几何结构时，算法2.1不循环。”
把定理3推而广之，得到推论：
    “如果任意放大的染色困局构形不具有十折对称几何结构时，那么H染色程序一定不循环，即经过有限次的颠倒染色后使得构形可约。
        这个推论对于点与边无限、非十折对称几何结构复杂的染色困局构形的正确4-染色提供了理论证明。     
      对于E族构形以及放大构形的4-染色，他运用数学归纳法给出证明。
      张彧典等人通过定理1至定理3的理论确立，终于完成了四色猜想的实践+理论的简短证明，论文《四色猜想染色困局构形的可约证明》在2020年12月《内蒙古科技》杂志（第462期）上发表。2021年，他再次修改并且翻译成英文论文《4-Staining of “Staining Dilemma Configuration” in Four-Color Conjecture》，于2022年发表于《应用数学和物理学报》第3期中。

     至此，张彧典等人经过42年的不懈探索，实现了阿佩尔的预见，也实现了清华大学林翠琴教授的指导意见。
     完整 的中英文版的论文以及主要参考文献发表于数学中国哥猜难题专栏   。                                                        


     

雷明85639720

1、坎泊的不可免集是完备的，只是他在证明中遗漏了5—轮构形中的具有双环交叉链的构形，当然他也不可能得到该构形是否可约的结论。这个构形集的完备性是可以证明的。因为任何平面图中一定存在着度小于等于5的顶点。只要证明了待着色顶点的度是小于等于5的构形都是可约时，四色猜测就被证明是正确的了。坎泊没有证明他的构形集中的所有构形都是可约的，当然也就不能说明任何平面图都是可4—着色的。
2、BAB型含有双环交叉链的构形中，要么含有环形的A—B链，要么含有环型的C—D链；要么既含有环型的A—B链，又含有环型的C—D链，但两链却是不能相交的；要么两链都不是环形的直链。可以证明这几种情况下的含有双环交叉链的构形也都是可约的。这就对坎泊的证明进行了补充和完善。这就证明了任意平面图的四色猜测都是正确的。
3、阿贝尔证明中给出的两个所谓的不可免构形是错误的，是不符合坎泊给出的构形的定义的。作为一个构形，应该只有一个待着色顶点，而阿贝尔给出的（5，5）构形和（5，6）构形却分别各存在两个待着色顶点。着色时一定是一个顶点一个顶点的着，当给一个待着色顶点着上颜色后，不也就成了只有一个待着色顶点的构形了吗？所以，Wernicke不可避免构形就不可能存在，当然也就不可能有张先生的“第四个成果：简化了Wernicke不可避免构形”了。
4、虽然阿的说明中认为引用的这两个构形是“不可免”的，但他的最终结论却说这两个构形仍是“不可约”的（见阿贝尔的《四色地图问题的解决》一文）。只要有一个“不可免”的构形是“不可约”的，当然不能说明能说明四色猜测是正确的。所以阿贝尔只说他们“证明了”四色猜测和“解决了”四色问题”，而不下四色猜测道底是正确还是不正确的结论。
5、张先生只所以能给（5，5）构形着色，其实质也是先对（5，5）构形中的一个待着色顶点着色，使其变成含有的一个待着色顶点的5—轮构形，然后再对这个5—轮构形着色的。但这并不是对（5，5）构形在进行着色，而只是在对一个含有双环交叉链的不可免的5—轮构形的着色。

雷明85639720

对张先生《主要成果》的再评论
1、关于林翠琴的话还有没有用的问题：
现在张先生的构形集已经由原来的八个，九个增加到了16个，还提“得到清华大学林翠琴教授的修改以及评论 ：如果你能够证明你的9个构形的完备性，那将是轰动世界的成果。”有什么用呢！我记得你为了满足林的这一要求也曾凑合了一个根本不成样子的“证明”，我曾对你的证明进行过否定；且你和我构造的颠倒次数大于九次的构形，不就说明了你的由九个构形构成的构形集是错误的，不完各的吗？
2、关于Capob ianco M., Molluzzo J.G.对Heawood图的解读是否错误问题：
赫渥特图的关键问题是：对于BAB型的5—轮构形来说，交换了一个关于B的对角链后，就全新生成从另一个B到其对角的连通链，不可能连续的移去两俱同色B。而 Capob ianco M., Molluzzo J.G.的解读也正是说明了这一点，为什么说他的解读是错误的呢？只是他从顶点1交换了B—D链后，移去了一个B，而从顶点3交换B—C链后，得到了顶点6和顶点7都着B，就认为”即使每次交换移动一个B，仍然不能同时移去两个B“的对论下得早了一点，而应是继续的交换下去，等顶点7着上了C，顶点5着上了B后，下再这一结论，显得更明鲜一些。错就错在赫渥特第二次交换不应该交换一条连通的对角链，因为连通链是不能空出颜色的。
３、赫渥特图是否还可以继续4—着色的问题：
虽然赫渥特的交换错了，得到的新构形虽然也含有双环交叉链，但却是一个可以连续的移去两具同色D的构形，也可以使问题得到解决。
4、赫渥特图4—着色（可约）的方法：
可以用张先生的H—换色程序，3次交换即可解决问题；也可以用断链交换法（张先生叫Z—换色程序），两次交换即可解决问题（这一方法的依据是，该构形中有一条经过了构形两个相邻围栏顶点的环形的C—D链，交换环内外的笨一条相反链A—B，都可以使双环交叉链断开，构形变成坎普已证明过是可约的构形）；第三种方法就是上述的方法，也可以叫做连续交换两个同色的方法，只是多进行了一次交换，交换次数达到了4次。
5、张先生的15个所谓非十折对称的构形集是错误的，不完备的：
这个构形集只是根据E—图一个十折对称图中改变了四色四边形的对解线所得到的15个构形，最大的交换次数是16次。而E—图这个十折对图只是无数图中的一种，这15个构形组成的构形集一定是不完备的。张先生，你已经构造出了需要颠倒交换26次的构形构形，这不是自已打自已的嘴巴吗？你这个交换次数最大是16次的构形集还能站得住脚吗？
6、你的15种构形都可以用我的构形集进行解决：
E—图和你的15个构形中的大多数图中都有经过了相邻围栏顶点的环形链，都属于我的“有环形链的构形”一类，两次交换就可以解决问题，可你为什么一定要进行那么多次（最多达16次）的颠倒交换呢？你的15个构形中剩下来的就是我的“无环形链的构形”一类了，在进行了一次关于两个同色的链的交换后，有一种是可以直接变成可以连续的移去两个同色的可约构形；另一种是可以先转化成“有环形链的构形”一类，再通过断链交换法进行解决。二者进行的交换也都是有限的。

雷明85639720

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