unique proof of the four-color conjectur

zhangyd2007@soh

                                                                 unique proof of the four-color conjecture
                                                                               四色猜想的独特证明
                                                                               Zhang—yudian   张彧典      
                                                                   （1633409368@qq.com）   

        摘要  本文运用染色困局构形模型中的两条相交色链A-C、A-D的不同位置组合确立了E族4个具有十折对称几何结构的可约构形；并且通过“E族4构形中几何结构的非十折对称变换”，确立了15个非十折对称几何结构的可约构形，组成一个两大类19（即4+15）个染色困局可约构形的不可避免集，给出四色猜想的一个简短证明。
Abstract : In this paper, four reducible configurations with 10-fold symmetric geometric structures of group E are established by using the combination of different positions of two intersecting color chains A-C and A-D in the coloring dilemma configuration model. Furthermore, through the "non-decagonal symmetric transformation of geometric structures in group e 4 configurations", the reducible configurations of 15 non-decagonal symmetric geometric structures are established, forming an inevitable set of 19 (i.e. 4+15) reducible configurations in two major categories, thus completing a short proof of the four-color conjecture.
关键词  四色猜想   染色困局构形  十折对称几何结构   非十折对称变换
Key words :  four-color conjecture , dyeing dilemma configuration ,
ten-fold symmetric geometric structure  , non-ten-fold symmetric transformation

                                                                                            1.        引言(The introduction)

        1935年，《美国数学学会会刊》发表了《对已部分染色地图的一组操作》【1】 ，其中，定义了“染色困局构形”，给出一个基本模型，如图1左所示，我们用对偶图简化表示为8点式的最小模型，如图1右所示；作者还给出“Errera” 构形，(简记为E-构形，就是图4中的E1)。
1935 ,《 the journal of the American mathematical society》 published 《a set of operations on partially stained maps》【1】 ，Where, "dyeing dilemma configuration" is defined and a basic model is given, as shown on the left of figure 1，We use dual graph to simplify the minimum model expressed as 8 points, as shown on the right of figure 1. The author also gives the "Errera " configuration (Simply marked as E- configuration，E1 in Figure 4).
      
                                                                                          图1： 染色困局构形模型
                                                                             Figure 1：Staining dilemma configuration model
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      在《一种试探式的平面图四染色》【2】中，把E-构形用它的对偶图表示出来，称为CK图，并且证明了CK图使得“算法2.1”的周期循环，即引理3.1 。
In "A Kind of Exploratory Four Colorings of Plane Graphs" [2], the E- configuration is represented by its dual graph, called CK graph, and it is proved that CK graph makes the periodic cycle of "Algorithm 2.1", namely Lemma 3.1.
     1992年，英国牛津《数学季刊》发表了《应该知道的赫伍德范例》【3】 ，其中给出一个范例，也就是CK图，并且证明：在4次赫伍德颠倒染色（简称H染色程序）时 ，发生周期循环，无法正确4染色。也就是文献2中的引理3.1的逆定理成立。
In 1992, the Oxford mathematical quarterly published "the herwood example that should be known" [3], which gave an example, namely CK diagram, and proved that: in 4 times of herwood reverse staining (referred to as H staining procedure), the cycle cycle occurred, and the correct 4 staining was not possible. That is to say, the inverse theorem of lemma 3.1 in reference 2 holds.                        
      文献2中，算法2.1的颠倒染色是顺时针方向的，颠倒染色沿着C-B, A-C, D-A , B-D 顺序；文献3中，H染色程序是逆时针方向的 ，颠倒染色沿着B-D,D-A,A-C,C-B 顺序，本文运用H染色程序。
In document 2, the reverse dyeing of algorithm 2.1 is clockwise, and the reverse dyeing is along the sequence of C-B, A-C, D-A, B-D. In document 3, the H dyeing procedure is counterclockwise, and the reverse dyeing is along the sequence of B-D, D-A, A-C, C-B. In this paper, the H dyeing procedure is used.
       2018年，我们找到了另外3个不同的E-构形，同时，发现了四色染色构形的一个重要定理---“四色顶点四边形及其性质定理” ，运用这个性质定理，确立了15个非十折对称几何结构的有解染色困局构形，由此证明了引理3.1’的否命题成立，给出四色猜想的一个理论证明。
In 2018, we found the other three homomorphic of the E- configuration. At the same time,  found an important theorem  the four-color staining configuration"four-color vertices quadrilateral and its property theorem", using this property theorem, The  configuration of 15 non ten-fold symmetric geometry structure,   It proves that the negative proposition of Lemma 3.1’ is established. giving a theoretical proof of the four-color conjecture.