4 人每人从 9 种菜中点 3 种，任两人所点之菜必有一种且仅有一种相同，共有几种点法？

wintex

Q : 設有4人到自助餐吃飯，共有9種菜色可點，但每人只點3種，任兩人所點之菜必有一種且僅有一種是相同的，則可能有幾種不同的點菜方法？
A : 808920種

小fisher

1）如果4个人点到同一个菜，其余各不相同：有C(9,1)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)=22680种方法；
2）如果恰有3个人点到同一个菜，有C(4,3)*C(9,1)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)=90720种可能，第四人所点之菜必为前3人所选其余两种菜之一，即二选一选3次有2*2*2种可能，总共有90720*8=725760种方法；
3）如果4人所点重复菜品各不相同：则第1人有C(9,3)中选择；第2人应在第1人所选3种菜品中选1种，再在其余6种菜中选2种，有C(3,1)*C(6,2)种选择；第3人应在第1、2人所选其余2种菜中各选一种，再在其余4种菜中选1种，有C(2,1)*C(2,1)*C(4,1)种选择；第4人只能选前3人中剩下一种没重复的菜，只有1种可能，总共有C(9,3)*C(3,1)*C(6,2)*C(2,1)*C(2,1)*C(4,1)=60480种方法。
也可以设想这种情况下4个人应从9种菜中选6种，放到6个不同的位置，因此有P(9,6)=60480种方法。
综上所述，共有22680+725760+60480=808920种选法

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