证明此矩阵是否可逆

kaien

题: 试证明如下矩阵\(V\)是否可逆。

设\(n\in \mathbb{N}^{\ast}\)个箱子和\(d\in \mathbb{N}^{\ast}\)个小球。记集合\(B = \{\alpha^1, \ldots, \alpha^m\}\)为\(d\)个小球放入\(n\)个箱子的所有组合(箱子可以为空，顺序随意)，如：
\[\alpha^1 = (d,0,\ldots, 0), ~ \alpha^2 = (0,d,\ldots, 0), \ldots, \alpha^i = (1,2,d-3,0,\ldots),\ldots\]

定义矩阵\(V\)如下：

\[V = \begin{bmatrix}
(\alpha^1)^{\alpha^1} & \cdots & (\alpha^1)^{\alpha^m}\\
(\alpha^2)^{\alpha^1} & \cdots & (\alpha^2)^{\alpha^m}\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
(\alpha^m)^{\alpha^1} & \cdots & (\alpha^m)^{\alpha^m}
\end{bmatrix}\]
其中\((\alpha^i)^{\alpha^j} = \prod_{k=1}^{n}(\alpha_k^i)^{\alpha_k^j}\) (设\(0^0=1\), 且\(\alpha_k^i\)代表\(\alpha^i\)的第\(k\)个元素)。

证明: 矩阵\(V\)可逆或找到一个不可逆的反例。

引申的问题:

• 计算行列式\(|V|\)。
• 如果矩阵\(V\)可逆，尝试给出\(V^{-1}\)的表达式。
  

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