无环形链的H—构形最大转型次数的确定（修改稿）

雷明85639720

无环形链的H—构形最大转型次数的确定（修改稿）
雷  明
（二○二○年七月十日）

H—构形只所以不能连续的移去两个同色，关链在于从任何一个同色顶点交换了关于含有一个同色顶点的链后，虽然移去了一个同色B,但又会产生从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链，使得不可能连续的移去两个同色B。
按H—构形的结构，可以把H—构形分为有经过围栏顶点的环形链的构形和无经过围栏顶点的环形链的构形两大类。有环形链的H—构形可以通过交换环形链内、外的相反链的“断链交换法”使构形转化成可约的K—构形。当然了，有环形链的H—构形也就是可约的了。而无环形链的H—构形因无环形链而不能使用断链交换法，只能用“转型交换法”，使构形一次次的转型，再寻求是否可以转化成可约的K—构形的机会。所谓的转型交换法，就是先从一个同色顶点开始交换与其对角顶点的颜色构成的色链，使构形峰点的位置和颜色都发生改变。
1、用改变个别顶点的颜色的办法，使构形直接转化为可约的H—构形：
在图1，a中，当构形中某条链中的某个顶点同时与另一相反链中的相同颜色的两个顶点相邻（如图1，a中的加大顶点）时，就可以把该顶点的颜色改成相反链中的另一种颜色，图也就转化成了有环形链的可约的H—构形了。图1，b是把左边的加大顶点的颜色由B改成了D，构形就转化成了有环形链C—D的可约的K—构形了。如果改变颜色的顶点不是B色顶点，而是B色顶点上方的A色顶点，则构形就转化成了有环形链C—D的H—构形了；图1，c是把右边的加大顶点的颜色由C改成了A，构形就转化成了有环形链A—B的可约的H—构形。

2、用交换邻角链的办法，使构形直接转化成只有一条连通链的可约的K—构形：
在图2，a中，当1B到7D就是一条B—D链而不是单边时，从1B交换邻角链B—C，图就会转化成只有一条连通链A—D的可约的K—构形（如图2，b）；在图2，a中，当4D—8A是单边时，从3B交换邻角链B—D，图就会转化成只有一条连通链A—B的可约的K—构形（如图2，c）。不过，这条连通链是经过了构形的3个围栏顶点的，其一端有两个相邻的顶点都在构形围栏顶点（如图2，c中的顶点1和2）上。

3、用转型交换的办法，使构形直接转化成可以连续的移去两个同色的可约的K—构形，或转化成有环形链的可约的H—构形：
在图2，a中，当4D—6C是单边时，从顶点1进行转型交换（如图3，a，交换的是对角链B—D），图就转化成了可以连续的移去两个同色D的可约的K—构形（如图3，b和图3，c）；在图2，a中，当2A—6C是单边时，从顶点3进行转型交换（如图4，a，交换的是对角链B—C），图就转化成了有环形链A—B的可约的H—构形（如图4，b和图4，c）。


以上的转化都是有附加条件的，也就是说它们都只适用于一部分图，而不是对任意的无环形链的H—构形都能适用。如果在上述的转型交换已经可以解决问题时，而有意的不去解决，却是在交换了一个同色顶点的有关链后，有意的再构造从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链，使其不能连续的移去两个同色，一直到在平面图范围内，不可能再构造出从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链为止。看其最多能有多少次转形，以求得最大的转型次数。
4、用连续的转型交换法使构形最终转化成可以连续的移去两个同色的K—构形：
图5是对图5，0（也即图2，a）进行的顺时针连续转型；图6是对图5，0进行的逆时针连续转型；图7是对图7，0（也即图1，a）进行的顺时针连续转型；图8是对图7，0进行的逆时针连续转型。












以上图中的虚线边是构造连通链时所增加的边和顶点。图5，0和图7，0都不是具体的构形或图，因为在转型的中途还不断的在构造着有关的链。从对两图的逆、顺时针的两个方向进行的转型看，分别是在第8次，第6次，第6次和第6次转型时，就再不可能再构造出从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链了。其主要的标志就是有一条与要构造的链呈相反链的连通链已经存在，并与待着色顶点构成了一个环，把要构造的链隔在了环的内、外两侧（如含有加粗边的图）。这就是说该次转型的前一次转型的结果就已经是一个可以连续的移去两个同色的可约的K—构形了。
把最大转型的前一次转型的结果（构形），连同转型过程中所增加的所有顶点和边，再按原转型方向的逆向连续的转型回去，当构形又返回到123—BAB型时的构形，就是以上各转型的原构形（现在已成了具体的构形或图）。这个具体的原构形再按原方向转型时，最后得到的结果一定与上面不断构造连通链的实际操作结果是相同的。不仅如此，每一步转型的结果，按逆向转型返回时，也都有与其相对应的原构形。把这些原构形再按原方向转型时，都可在与该构形对应的最大的转型次数之内，使构形转化成可以连续的移去两个同色的可约的K—构形。转型的次数都是有限的。
虽然如此，但这还不能说明任何无环型链的H—构形的转型次数都一定是有限的。这个问题必须解决，否则，就不能最终证明四色猜测道底是正确还是不正确。
从以上的实际操作中可以看出，图5，0是最简单的无环形链的H—构形，转形的最大次数是8次；图7，0是较复杂一点的该类构形，转型的最大次数就成了6次。由此可以推断，无环形链的H—构形的最大转型次数是随着构形顶点数的增加而减少的，任何无环形链的H—构形的最大转型次数都是不会大于8次的，即最大不会超过7次转型就可转化成可以连续的移去两个同色的可约的K—构形。但这只是一个推侧，还需要从理论上去进行证明。
5、无环形链的H—构形的最大转型次数的理论证明：
有没有无限次的转型也不能空出颜色的构形呢？有。这就是埃雷拉1921年构造的E—图。该图转型时是以4（颜色总数）×5（5—轮构形围栏顶点总数）＝20（转型次数或周期、频率。在第20次转型后，各顶点的颜色又返回到最初的原始状态）为周期的无限循环转型的构形。那么是不是E—图就不可4—着色了呢？不是的。因为E—图中有经过了围栏顶点的A—B链，所以它又是一个有环形链的H—构形，可以用断链交换法进行解决。
我们现在所研究的无环形链的H—构形，是不是也会有无限周期循环转型的构形呢？也不会。因为无环形链的H—构形，根本就不具备与E—图相同的条件，本身就没有环形链。所以它也不可能产生周期性的循环转型，而一定是会在第20次转型之前（包括第20次）转化成可以连续的移去两个同色的可约的K—构形的。这个20就是无环形链的H—构形的最大转型次数。
在连续转型的过程中，构形也有可能在中途就转化成了有环形链的H—构形的可能，所以在遇到了这种情况时，就要及时的采用断链交换法，把构形当作有环形链的H—构形去处理，尽早的结束转型过程，尽早的解决问题（E—图不但原图中含有环形链，而且每次转型的结果中，也都含有环形链，并且都是H—构形，每次转型后都可以改用断链交换法，结束转型，空出颜色来给待着色顶点）。张彧典先生的第八构形就是一个无环形链的H—构形，在用逆时针方向的连续转型时，有多次转型后，都得到了有环形链的H—构形，早就应该可以解决问题，但不知张先生为什么一定要进行多达8次的逆时针方向的连续转型呢？这个第八构形，甚至在第一次逆时针转型后，就是一个有环形链的H—构形呀！
以上是对具体的无环形链的H—构形连续转型着色的实践和对任意无环形链的H—构形从理论上进行的逻辑推理，二者都说明了无环形链的H—构形的转型次数是有限的，其最大是不会超过20次的，或者是不会超过8次的。这就证明了任何无环形链的H—构形都是可以在20次转型之内，转化成可以连续的移去两个同色的可约的K—构形的。也就证明了任何无环形链的H—构形都是可约的。四色猜测就可以证明是正确的了。

雷  明
二○二○年七月十九日修改于长安

注：此文已于二○二○年七月二十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：
  

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