李尚志：从数学中享受快乐

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李尚志：从数学中享受快乐



作者 |  李尚志
来源 |  《数学通报》2004年第12期。

快乐足球与快乐数学

我们的学生，从小学到中学再到大学，都要学数学。

不妨去问一个学生：“你为什么要学数学？”他会怎样回答？

假如他实话实说，答案很有可能是这样的简单：“学校里要考数学，所以我只好学数学。”他们的家长会告诫：“小学生学不好数学就考不上中学，中学生学不好数学就考不上大学，那以后就找不到好的工作。”

假如你再问他：“学数学快乐吗？”他会怎样回答？

如果是为了应付考试而被迫学数学，他能快乐吗？学习有困难的学生觉得不快乐。即使是那些数学尖子，比如参加数学竞赛得了奖、进了冬令营的姣姣者，也有很多人觉得学数学不快乐，甚至咬牙切齿发誓一辈子不再学数学。一个“数学尖子”，假如是在家长和老师的逼迫下，为了获得保送上大学的资格而接受痛苦的训练，终于如愿以偿进了大学的门，好不容易从数学的魔掌下解放出来，他仇恨数学、不愿意再学数学，难道不是很自然的吗?

为了应付考试而学数学，不可能快乐！也不可能学好数学。

假如这个问答再继续下去：

“学数学不快乐, 干什么快乐呢？”

“玩！”

“玩什么？”

“玩足球。”

“那些以玩足球为职业的人快乐吗？比如，被媒体吹捧为‘超白金’的足球队员们, 他们快乐吗？”

“不快乐。他们玩的是‘出线足球’。输了球，出不了线，队员不能发财，官员不能升官，当然不快乐。”

出线足球不快乐。应试数学不快乐。

米卢提倡“快乐足球”。我理解，他说的“快乐足球”就是要热爱足球本身，从足球本身享受快乐。什么时候不是为了利益玩足球，而是为足球本身的魅力所倾倒了， 什么时候足球也就能出线了。

数学也是这样。如果一个学生体会到了数学的魅力，从数学本身享受到了快乐，而不是为了考试学数学，他的数学就能学好了，考试当然也就能考好了。

学生学数学不快乐，不能怪他们，只能从我们的数学教育找原因。数学本来天生丽质、美丽动人，可是我们的教育却将她涂脂抹粉变成了一个丑八怪，一个令人恐怖的恶魔，怎么能怪学生不喜欢数学呢？

应当将数学这个美人脸上的污垢洗干净，还她的本来面目。

这次湖南教育出版社邀请张景中院士与我一起编写高中数学新课程标准实验教材，使我们有机会实现这一愿望：让学生从数学中享受快乐。这也就是我们编写这套教材的首要的指导思想。如果一套数学教材能使学生喜欢数学，从数学中享受快乐。这就是很大的成功。

我们为了达到这个目标作了很大努力。是否成功，要靠实践来检验。

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数学的美

我们的数学教材，希望能让学生喜欢数学，从数学中享受快乐。学生对数学有兴趣了, 甚至被数学的魅力迷住了, 他就会自觉地努力去学习数学。学习过程中当然会经历艰苦, 甚至经历痛苦, 但他再苦再累也心甘情愿, 并且在痛苦中享受快乐。这样学习, 才能真正领会数学的本质, 真正学好数学, 学到真正的数学。

靠什么去引起学生对数学的兴趣？不是靠数学以外的东西，而是靠数学自身的美，自身的魅力。

我们不可能在这里全面论述数学的美。就本套教材而言，我们着力从以下两方面去展示数学的美。

1. 数学的自然美

我们提倡真善美。作为一门科学，数学本身无所谓善恶，善的人可以用它为善，恶的人可以用它作恶。但作为一门科学，数学的最大特点就是它的真。如果不真, 就不称其为科学。同时，数学也是美，并且真本身就包含着美。

数学来源于现实。学生学习的所有的数学内容，包括概念、思想、方法，都来源于现实，它的美是从现实世界与生俱来的。但如果我们的数学教育、数学教材将这些数学内容与现实割裂开来，只剩下一堆为应付考试而死记硬背的条文，那怎么能让学生喜欢呢？

比如，你去问学生为什么要学习集合、函数、三角函数、几何，学生怎么回答？也许他的回答就是：“书上有这些内容, 你要考这些内容，所以我只好学。”

我们的教材，努力在一定程度上让学生体会到这些数学知识是怎样从现实世界中来的——它们都是为了解决现实世界中的某一方面的问题而建立的数学模型。为此，我们在引入这些知识的时候不是从定义出发，尽量从现实世界出发，从问题出发。不是将这些知识“教”给学生，而是与学生一起尝试在解决问题的过程中建立模型，包括引入适当的概念和定义，“发明”适当的方法。因此，在很多章的开始，都设立了数学建模栏目，这不是贴标签走形式，而是提供给学生一个从现实出发走向数学的起点。在学会这些知识的过程中以及学习之后，还要不断地利用这些知识解决更多的现实问题，这又是每章设置的问题探索、数学实验等栏目的目的。

当学生亲眼看见数学知识怎样从他们身边生动活泼的现实中诞生并大显神通，他们自然就会体会到数学的美，引起对数学的兴趣和以至于热爱，愿意终生与数学交朋友。

2. 数学的内在统一美

数学有很多分支，很多方向，很多内容。但这些内容不是互不相干的堆积起来的，而是互相联系成一个有机的整体。好比一个人是由很多器官组成的，有头有身体有手有脚，但如果将头、身体、手、脚砍下来，人就死了，失去了灵魂，这些器官也就都是一堆肉和骨头而不是人体的一部分了。数学的各部分之间的相互联系也是数学的灵魂之所在，数学的美的一个重要方面。学生在学习的时候固然需要分别学习各部分知识，但是如果将它们割裂成互不联系的众多的“知识点”去分别死记硬背，而且以“知识点”越多越光荣，那不但大大加重学生负担，而且丢掉了数学的灵魂，学到的根本不是真正的数学。

我们的教材努力体现各个部分之间的有机联系，体现数学的统一美。而且，通过这种联系和统一，使得整个数学内容显得线条清晰，结构简洁，体现了一种简洁的美，让学生有可能体会到华罗庚所提倡的学习数学“由厚而薄”的绝妙境界。

数学研究的两大主要对象是形与数，两大主要部分是几何与代数。我们努力将形与数的统一与联系贯穿于所有的章节。函数与图象是数与形的统一，解析几何中的方程与图象当然也是数与形的统一。而且，我们还用向量这个工具作为形与数的桥梁，将数与形更加紧密地联系起来。不但在讲了向量之后尽量发挥向量的威力来处理三角恒等变换、解析几何的问题，而且在向量这部分内容之前引入三角函数的时候，通过解决现实世界中方向和距离与直角坐标的相互转化来引入三角函数，也已经暗中包含了向量的思想，埋下了伏笔。

以下我们分别就各具体章节简要介绍我们怎样从上述两方面展示数学的美。

为了让学生更能体会到数学的美，我们在教材的语言方面也尽量做了努力，努力不板着面孔讲数学。恰如其分地应用生动活泼、年轻人喜闻乐见的口语讲数学，并引导学生体会怎样将生动而不太严格的口语转化为严谨的数学语言。并且还在每章前面用一首诗来概述本章的主要精神，为本章内容的展开营造一种气氛，也让学生在一种令人心旷神怡的人文气氛中享受快乐。语言是用来交流思想、传递信息的，自然语言、文学语言都是人们喜闻乐见的好形式。既然我们的数学是讲给人听的，特别是讲给年轻人的，为什么不能用年轻人喜欢的语言而非要用他们讨厌的语言来讲呢？我们讲数学的老师也是人，写教材的作者也是人，我们自己在听别人讲话的时候都喜欢听生动的话而不喜欢听枯燥的官腔，那我们为什么又要将我们讨厌的语言强加给学生，强加给这些最富有青春活力的年轻人呢？

因此，我们在下面展示数学的美的时候，也从每章开始的诗讲起。

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数学的自然美

我们这套教材的各章是这样开始的：

集合与函数

日落月出花果香，物换星移看沧桑。
因果变化多联系，安得良策破迷茫。

日出月落，花果飘香，物换星移，沧桑变化，多美的意境！这些都是现实世界中变化的事物，而这些变化都包含了因果关系。函数就是描述现实世界因果关系的一种数学模型，是破除迷茫的良策之一，它能不美吗？

指数函数、对数函数与幂函数

晨雾茫茫碍交通，蘑菇核云蔽长空。
化石岁月巧推算，文海索句快如风。

光线在晨雾中按指数函数快速衰减，所以“晨雾茫茫碍交通”。铀核裂变时放出的中子数和能量都按指数函数快速增长，引起核爆炸。由化石的放射性碳含量与化石年龄之间的对数函数关系可以推算出化石的年龄。将海量数据经过合理编排，可以使搜索资料所需的工作量是数据量的对数函数，当数据大量增长时工作量增长很少，因此能做到“文海索句快如风”。指数、对数函数与现实生活中的这些现象密切相关，是我们身边活生生的数学。

立体几何

锥顶柱身立海天，高低大小也浑然。
平行垂直皆风景，有角有棱足壮观。

本教材每章一开始都有一幅章头图。本章的章头图是一幅海边的风景画，建筑物与碧海蓝天交织成美丽的风景。



这首诗描写的就是对这幅画的“看图写诗”。现实的建筑物呈现出各种形状、大小不同的几何体，有锥体，有柱体。几何体中又进一步蕴含了立体几何中的直线、平面等基本图形，呈现出平行、垂直等基本的位置关系。立体几何就是这样自然地从现实世界中抽象出来的。在叙述数学的同时，这首诗也包含了一些哲理：事物是丰富多彩的，有大有小，有平行有垂直，并非只有一种形态而排斥另一种形态。大自然中处处有风景, 处处有美, 就看你能否体会得到。

解三角形

近测高塔远看山，量天度海只等闲。
古有九章勾股法，今看三角正余弦。

测塔看山，量天度海，好大的气派！可以想象一个顶天立地的巨人，拿着无比巨大的尺子和量角器在那里量天度海。我们不必长成那样的巨人。我们只要利用解三解形的知识就能做到量天度海。数学知识可以使我们成为巨人。

数列

玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天。
坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环。

这里讲的都是历史上有关数列的著名例子。“玉兔子孙”讲裴波拉契的兔子数列。“棋盘麦塔”讲古印度国际象棋发明者向国王要奖赏的故事：他所要奖赏的麦子总数是2的0到63次幂所组成的等比数列的和，这样多的麦子堆成的“麦塔”可以从地球一直堆到太阳上去，所以说“棋盘麦塔上摩天”一点都不夸张！堆垛和连环都是中国古代数列的著名例子。这些历史故事都很有趣，当然数列也就很有趣。

不等式

天不均匀地不平，风云变幻大江东。
入水光路改方向，露珠圆圆看晶莹。

这首诗的气派也很大。天地之间，到处是不相等的例子。天不均匀，地不平坦，这才是常态。风云变幻，大江东流，万物都在变化，变化前后就不相等。这里不但举出不等式的具体实例，而且指出不相等才是普遍的、绝对的，而相等反而是特殊的、相对的、近似的。后两句举的是极大极小值的著名例子， “入水光路改方向”说的是光的折射，光在入水后改变方向，发生折射，所花的时候反而最短。“露珠圆圆”，球形的露珠在保持体积不变的情况下表面积最小。极小值小于其他值，这也是不等式问题。

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数学的统一美

三角函数

东升西落照苍穹，影短影长角不同。
昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣。

这里依然是说的自然现象。太阳每天东升西落，在苍穹中运转。运转过程中光线照射地面的角度变化，地面物体的影子的长短也就随之变化。同一物体的影子长度与光线角度之间的关系由三角函数 (正切函数) 描述。除此之外，太阳东升西落，昼夜循环，潮涨潮落，冬去春来 (四季更替)，草枯草绿，都是自然界重要的周期现象，三角函数是描述周期现象的重要数学模型。


                图1  

在这一章引入三角函数之前的“问题探索”中，我们从研究一个几何问题开始：



向量

方向距离一笔挥，茫茫大海系安危。
展开合并等闲算，勾股余弦未足奇。




                图2
  





                图3   



为什么从向量的“展开合并”中能得出如此重要的几何定理？这其实是因为“展开合并”所依据的运算律本身就暗藏了几何定理。正如我们在教材中指出的，向量加法的交换律暗藏了平行四边形的判定和性质定理，数与向量相乘的分配律以及向量数量积的交换律都暗藏了相似三角形的判定和性质定理。因此，利用向量的运算进行推理，实际上是在利用这些基本的几何定理推出更高级的几何定理。比如，可以逐字逐句将上述乘法公式的代数证明过程翻译成几何推理过程，得到的就是利用相似三角形证明勾股定理的几何证法。向量代数与几何的联系和统一，在这里表现得淋漓尽致。

三角恒等变换

三角莫愁公式多，几何妙笔画婀娜。
展开和角星空转，加减正弦明暗波。

这一章需要记忆的公式很多，这些公式看起来没有什么实际背景，也没有任何趣味可言。本章的主要内容是将这些公式变来变去得出新的三角恒等式。这是令人厌烦的。







正弦的和差化积与光的干涉密切相关 (参照第二册第5章数学实验)。光的干涉图案是明暗相间的条纹。这就是“加减正弦明暗波”的意思。

解析几何

代数几何熔一炉，乾坤变幻坐标书。
图形百态方程绘，曲线千姿计算求。

其余的诗基本上都涉及到现实世界与数学概念之间的关系，涉及到数学的自然美。只有这一首诗是专门讲数学的统一美，讲代数和几何的密切联系。大千世界，荡荡乾坤，都由点构成。点可以由坐标表示，点的变化也就是坐标的变化，因此可以用坐标的变化来描述乾坤的变幻。这就是“乾坤变幻坐标书”的意思，其中的“书”是动词, 表示“书写”，也就是描述。图形可以由方程来描述，曲线的几何形状可以通过代数计算的方法来求出。这些就是解析几何的基本思想方法。


                图6   

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数学实验

数学实验，也是本套教材与众不同的特色之一。

数学实验，是生活中的数学，活的数学。是让学生借助于计算机等现代技术手段，自己动手做数学。
实验成功与否，完全由实践来检验。实验结果是图形，就要眼见为实，如果是声音，就要耳听为实。
以下是第四册第9章的一个实验：乐音的频率比。



本教材安排的实验还有：在“电子琴为什么能模拟不同乐器的声音”中，利用正弦曲线迭加出不同形状的波形来说明合成不同音色的声音的原理；在“光的干涉”中，利用和差化积计算出各点的光的强度，模拟出光的干涉图象；在“凹面镜的反射”中根据光的反射定律画出反射光线图，研究凹面镜反射的特性;等等。

数学实验，将数学转化为活生生的形象或声音，从另一个方面展示了数学的自然美。