现实中的指数关系，可以被任意底的指数函数拟合么?

wufaxian

论坛的编辑器好像不支持公式编辑，在此说明下：在下文中e3k 3k是e的指数； ekt，kt是e的指数；log964 是log以9为底的64的对数。

看到一个例题，引出了一个思考。先将例题以及解法简述如下：
如果你知道三年前兔子的总数是1 000只, 而现在增长至64 000只,那么, 从现在开始, 一年之后总数会怎样变化呢？此外,总数从1 000增长至400 000需要多长时间呢？好吧, 我们有P0 = 1 000, 因为这是初始的总数.故上述的框中方程变为P(t) = 1000ekt.问题是, 我们不知道k是什么. 而我们知道的是, 当t = 3时, P =64000, 因此, 我们将其代入：
     64000=1000ekt
这意味着, e3k = 64.我们对两边取对数得到3k = ln(64), 故k=（1/3）*ln(64). 事实上, 如果你写ln(64) = ln(26) = 6ln(2),那么你可以将其化简为k = 2ln(2). 这意味着,对于任意的时刻t,P(t) = 1000e2lan(2)t现在, 我们可以求解该问题了.对于第一部分, 我们想要知道从现在开始的一年中会发生什么情况.这事实上是从初始时刻开始的4年时间,故设t = 4.我们得到
    p(4)=1000e2ln(2)*4=1000e8*ln(2)=1000eln(256)=1000*256=256000



看到上述求解过程，我就想到兔子繁殖的函数为什么一定是以e为底的指数函数呢？如果换做其他底会怎样呢？也能求出K来么? 于是我就尝试用9做底。还套用上述方法求解K
64000=1000*93k
求解k=(1/3)*log964
p(4)=1000*9k*4  将k代入。p(4)=256000  与第一种方法同解

由上面我们可以看出。即便预设的函数采用不同的底数（e或者9）最终都能得到不同的K 。通过对t进行缩放（k大于1，可以看作对t进行压缩，k越大，对变量t压缩越严重，k小于1可以看作对t进行放大，k越小对t放大越严重。压缩的含义是t只需要很小的变化就会在指数函数的曲线上出现很大的变动）
那么针对上述例题是否有任意底数a （a大于1），都i可以求出相应的k，使指数可以满足实际中兔子繁殖数量与时间（年数）的映射关系呢？如果是，为什么？
其实从上面求解过程可以看出来。如果模型换成a为底，那么最后求出的k一定是1/3*loga64. 可是为什么一个确定的映射关系（兔子数量与时间的函数关系）却可以被任意底数的指数函数表示呢？总觉得有点怪怪的。

我有一种直觉。底数a>b>c>1的指数函数如下图所示。

他们的曲线“曲率”应该一致，也就是说c为底的指数函数 以（0，1）为轴心逆时针旋转可以完全与a为底的函数重合。同样b为底的指数函数 以（0，1）为轴心逆时针旋转可以完全与a为底的函数重合，只有这样才能确保兔子繁殖速度的函数模型可以是一个与底数无关的函数。因为现实当中兔子繁殖速度的函数如果以点绘线一定是一个底数唯一的指数函数图像，而不可能是任意底数的函数图像。
我的直觉对么？为什么对？为什么错？

11111qqqq

为方便起见，这里定义“指数函数”为\(y=a^x\)（a是正实数），“对数函数”为\(y=\log_b{x}\)（b是不等于1的正实数，x取正数值）。
可以告诉楼主，任意两个指数函数的图象都相似，任意两个对数函数的图象都相似，任意一个指数函数的图象和任意一个对数函数的图象都相似。
所以我认为，选哪个为底数，都是可以的。
那么为什么以e为底呢？我认为这是因为e有良好的性质，e^x的导数还是e^x，lnx的导数是1/x，这是其他底数所不具备的。

wufaxian

11111qqqq 发表于 2020-8-2 16:04
为方便起见，这里定义“指数函数”为\(y=a^x\)（a是正实数），“对数函数”为\(y=\log_b{x}\)（b是不等于1 ...

谢谢回复。也就是我的直觉“他们的曲线“曲率”应该一致，也就是说c为底的指数函数 以（0，1）为轴心逆时针旋转可以完全与a为底的函数重合。同样b为底的指数函数 以（0，1）为轴心逆时针旋转可以完全与a为底的函数重合，”是成立的？

11111qqqq

wufaxian 发表于 2020-8-2 16:39
谢谢回复。也就是我的直觉“他们的曲线“曲率”应该一致，也就是说c为底的指数函数 以（0，1）为轴心逆时 ...

曲率的话有严肃的定义，我暂时不想去算（楼主可以自己查公式）。简单点说，指数函数和对数函数相似，你只要通过平移、旋转、对称、扩缩就可以把任意一个指数函数变成任意一个指数函数或者对数函数。