在 x≥0 范围内，求函数 f(x)=7√(9+x^2)/3-2x/3 的最小值和取最小值时 x 的值

wintex

請問極值問題
請問微積分怎麼解？不用微積分有其他方法嘛？

小fisher

由于ctan(θ)在θ∈(0,π/2)区间内对应全体正实数，因此可设x=3ctan(θ)，代入原式化简可得：
\(f(x)=\frac{7-2cos(θ)}{sin(θ)}\)
\(=\frac{7(\cos^2{\displaystyle\frac\theta2}+\sin^2{\displaystyle\frac\theta2})-2(\cos^2\frac\theta2-\sin^2\frac\theta2)}{2\cos{\displaystyle\frac\theta2}Sin{\displaystyle\frac\theta2}}\)
\(=\frac12(9\tan\frac\theta2+\frac5{\tan\frac\theta2})\)
\(\geq\frac12\cdot2\sqrt{9\tan\frac\theta2\cdot\frac5{\tan\frac\theta2}}=\sqrt{45}\)
当\(9\tan\frac\theta2=\frac5{\tan\frac\theta2}\)，即\(\tan\frac\theta2=\frac{\sqrt5}3\)时取等号
此时\(x=3c\tan(\theta)=3\left(\frac{1-\tan^2\frac\theta2}{2\tan\frac\theta2}\right)=\frac{2\sqrt5}5\)

luyuanhong

小fisher

用微积分法，设\(g(x)=\frac73\sqrt{9+x^2}\)，\(h(x)=\frac23x\)，则：
\(g'(x)=\frac73\cdot\frac x{\sqrt{9+x^2}}\)，\(h'(x)=\frac23\)
当x为无穷小时，g'(x)=0<h'(x)，当x为无穷大时，g'(x)=1>h'(x)，说明在x≥0时，g(x)和h(x)均为增函数，但在0值附近g(x)随x值增大的速度小于h(x)的增大速度，f(x)=g(x)-h(x)为减函数，当g'(x)=h'(x)时，f(x)有最小值，之后随x增大f(x)变为增函数
由\(g'(x)=\frac73\cdot\frac x{\sqrt{9+x^2}}=h'(x)=\frac23\)可解得\(x=\frac{2\sqrt5}5\)