\(\Large\textbf{连续统构造}\)

elim

我的【从有理数柯西列的等价类构造实数系】手记

elim

数学中最基本的部分是算术，其中最基本的对象是数，数中最基本的是自然数。对于自然数，不同的人会对它有不尽相同的了解，然而从数学的观点看，那些不同往往不是数学所在乎的(究竟自然数是怎么来的，自然数怎么表示等等)。数学把自然数全体作为一个既存的确定不变的集合(客体)来看待。这个集合满足Peano公理.

在自然数集上可定义加法和乘法。为了加法的逆运算(减法)得以畅通，就产生了自然数的一个扩充：整数集。为了整数集上乘法的逆运算对非0元畅通，就产生了有理数系。它由分数 a/b (a,b 是整数，b≠0) 构成.

有理数系看似很够用了， 却不能表示数轴上的每个位置。为了得到一种数系，它能与数轴上的位置一一对应，我们需要有理数系的一个‘连续’扩充。主贴给出了一个扩充。我们需要证明它实现了我们的期待。

elim

续前贴。我们来对数轴作一些解读。给定平面上相异二点 O, J.  称过该二点的直线L 为数轴。将 O 对应于数 0, J 对应于数 1,  L 上距 O 的有向距离为 (a/b)OJ = a/b 的唯一的点就对应于有理数 a/b (a,b 是整数, b≠0).

L 上对应于有理数的点叫作有理点(有理=rational，后者的另一意义‘比例’在这里才较确切)。问题是有理点是否占满了L 的所有位置？ 回答是否定的。例如单位正方形的对角线长所相应的L上的有向位置就没有有理数可以对应. 一般地，任取L上不对应于任何有理数的点P，不难构造有理点列 {An},{Bn} 使得 0< Bn - An <1/n 且 P 在 An 与 Bn 之间。容易看出 {An},{Bn} 均为柯西列，由主贴给出的实数系的完备性，这两个序列收敛到一个公共的极限。这个极限值对应的恰为 P. 所以数轴 L 与 实数全体一一保序对应！

elim

我想有需要从主贴推出刻划连续统的全部著名的定理。并证明其等价性。

elim

楼上\(\,A\dot{\cup}B\,\)表示\(\,A\,\)与\(\,B\,\)的不交并.

任在深

请注意！
            纯粹数学中零维数（点）包含在一维数（线段）包含在二维数（面）包含在三维数（体积）之中！

      (√n)^0∈(√n)^1∈(√n)^2∈(√n)^3

elim

主贴给出的构造需要一些解说: 具有最小上界性的阿基米德有序域

在有实数理论以前,实数已经是数学家们的家常便饭.人们把实数系
当作天经地义的数学平台.从那时对实数的使用来看,虽然用词没有
那么精准,人们对实数系的共识是：

自然数系含于整数系,整数系含于有理数系,有理数系含于实数系，
而实数系是具有最小上界性的阿基米德有序域\(\mathbb{R}\).也就是说,实数系
由称作实数的数学对象组成.它具有两种基本运算\(+,\,\times\;(a\times b\)简记
为\(ab).\,\mathbb{R}\,\)对这两种运算封闭(任何这两种运算的结果唯一，且还是
实数，还在\(\,\mathbb{R}\,\)中.

它们的代数性质是：对任意\(\,a,b,c\in\mathbb{R},\)
\(a+b=b+a,\qquad\qquad\qquad\quad ab=ba;\qquad\;\;\)(交换律)
\(a+(b+c)=(a+b)+c,\qquad a(bc)=(ac)b;\;\underset{\,}{\;}\)(结合律)
存在\(\,0,\,1\in\mathbb{R}\;(0\ne 1)\) 使
\(0+a = a,\underset{\,}{\qquad}\qquad\qquad\qquad 1a = a\qquad\qquad\)(幺元)
存在\(\,a'{\small\in\mathbb{R}}\,\)使\(\,a + a' = 0.\,\)记\(\,a'\)为\(\,-a\qquad\qquad\;\;\;\)(加法逆)
对\(a ≠ 0,\)存在\(\,a^*\in\mathbb{R}\)使\(\,a a^* = 1,\)记\(\,a^*\)为\(a^{-1}\)或\(\,\frac{1}{a}\,\)(乘法逆)

\(\mathbb{R}\)中的元素存在序关系\(\ge\)(用\(\,>\)表示\(\,\ge\)但\(\ne,\,\)用\(\,b < a\,\)表示\(\,a>b),\)满足
\(\quad a>b,\;b>a,\;a=b\,\)有且仅有一种情况发生 (三歧性)
\(\quad a\ge a,\)
\(\quad a\ge b,\,b\ge a\implies a=b,\)
\(\quad a\ge b,\,b\ge c\implies a\ge c,\)
\(\quad a\ge b\implies a+c\ge b\ge c,\)
\(\quad a\ge 0,\;b\ge 0\implies ab\ge 0.\)

\(\mathbb{R}\,\)的阿基米德性：对任何\(a > 0,\)存在正整数\(\,n\,\)使得\(\,na > 1\).

\(M\in\mathbb{R}\,\)叫作\(\,E\subset\mathbb{R}\,\)的上界,如果对每个\(\,x\in\mathbb{R}\,\)有\(x\le M\).对称地定
义下界概念。称\(\,E\,\)是上有界的,如果\(\,E\,\)有上界。对称地定义下有界
集合。既有上界又有下界的集合叫有界集。若\(\,\lambda\in\mathbb{R}\,\)是\(\,E\,\)的上界,
且\(\,\lambda'< \lambda\implies \lambda'\,\)不是\(\,E\,\)的上界,则称\(\,\lambda\,\)为\(E\,\)的最小上界或上确界,
记作\(\,\lambda=\sup E.\;\)对称地定义最大下界即下确界\(\,\inf E.\)

\(\mathbb{R}\)的最小上界性：\(\mathbb{R}\,\)的非空上有界的子集必有最小上界.

以上这些共识叫作实数公理。

易见除了最小上界性,有理数系\(\,\mathbb{Q}\,\)满足全部实数公理.即\(\mathbb{Q}\)是具有
阿基米德性的有序域。

实数理论是从\(\mathbb{Q}\)的存在性出发，根据集合的生成法则，证明满足
实数公理的数系存在的理论。

jzkyllcjl

你写的是形式语言。 你解决不了 连续统假设的大难题，也解决不了 布劳威尔 反利。

elim

被抛弃的 jzkyllcjl ，连极限是什么都闹不清，这么装疯卖傻想干吗？

任在深

elim 发表于 2021-7-8 21:31
顶一下这个帖子。

有意思吗！
简单的问题复杂化！
合理的问题扭曲化！
大自然法则低级化！
现代的数学之所以诡辩化，就是因为西方的错误理论基础化！
从概念---定理-----从演义-----定义-----根本不符合大自然法则！
因此现在的数学系统根本不具有相容性，独立性，完备性！
只是一些胡拼乱凑的生涩难懂的词汇而已！
纯粹数学是到了应该改革的时候了！！
否则数学还得停滞不前！甚至倒退！！！