简明极限论

elim

记\(\,\mathbb{R}\,\)为实数域,\(\{a_n\}\)是实数序列\(\,a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots\)
称\(\{a_n\}\)收敛,其极限为\(A\in\mathbb{R},\,\)记作\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A,\,\)如果
任意给定\(\varepsilon>0,\,\)存在\(\,N\in\mathbb{N},\,|a_n-A|\,\)对任意\(\,n>N\)成立.
上述定义可以表示为
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N\in\mathbb{N}\,\forall n>N:\,|a_n-A|< \varepsilon\)
例1 \(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{1}{n}}=0\)
证：对\(\,\varepsilon>0\,\)取\(\,N=\lfloor\frac{1}{\large\varepsilon}\rfloor,\,\)
\(\qquad\)则\(\,n{\small >N\implies} n{\small\ge N+1>}\frac{1}{\large\varepsilon}{\small\implies}|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}< \varepsilon. \)
例2 \(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\)
证：令\(\,h_n=\sqrt[n]{n}-1,\,\)则\(\,\frac{n(n-1)}{2}h_n^2< (1+h_n)^n=n\)
\(\therefore\quad h_n<\sqrt{\frac{2}{n-1}}\;\small(n>1).\,\)对\(\,\varepsilon>0,\,\)取\(\,N=1+\lfloor\frac{2}{\large\varepsilon^2}\rfloor,\,\)则
\(\qquad n>N\implies n\ge N+1>\frac{2}{\large\varepsilon^2}+1\implies\sqrt{\frac{2}{n-1}}<\varepsilon\)
\(\quad\;\;\implies|\sqrt[n]{n}-1|=h_n<\varepsilon.\quad\small\overset{\,}{\square}\)
定义：若\(\,A\in\mathbb{R},\,\)有无穷多个\(\,n\,\)使\(\,a_n\in(A-\varepsilon,A+\varepsilon),\,\)
\(\qquad(\forall\varepsilon>0)\)则称\(\,A\,\)是序列\(\{a_n\}\)的一个聚点.
例3\(\;\underset{\,}{\big\{\frac{n^{(-1)^n}}{1+n^{(-1)^n}}\big\}}\)有两个聚点\(\,\pm 1.\;\{\sqrt[n]{n}\}\,\)的聚点是\(\,1.\)
评注：从数列极限的定义及上面的例子知道，数列的极限
是一个实数(定值),任意给定误差\(\,\varepsilon>0,\,\),当\(\,n\,\)充分大时数
列的项\(\,a_n\,\)与该实数\(\,A\,\)的误差均小于\(\,\varepsilon.\;\)从几何上看,收敛数
列的项在含其极限的任意开区间外至多只有有限项.
数列极限的定义不要求,甚至本质上是视"可达性问题"为伪
问题的.因为如果一个序列的某一项达到(等于)所需值,那
么就没有求极限的必要了.可达性问题之所以被提出,是因
为直觉主义者把数列视为一个运动过程的记录,把极限视为
这个运动过程的终点.然而正是因为人们无法用过程的过渡
性状态来定义"过程终点",极限方法才是必要的.数学史上
的第二次(数学)危机的解决,就是给出了极限的严格定义,
把极限定义为序列的唯一聚点,改正了把极限视为过程的终
点的错误\(\underset{\,}{.}\)
定理0 设\(\,\{a_n\}\,\)收敛,则\(\,\{a_n\}\,\)有界,其极限唯一.
证： 取\(\,\varepsilon=1,\,\)则有\(\,N\in\mathbb{N}\,\)使\(\,|a_n-A|< 1.\)
\(\qquad\)令\(\,M=\max\{|A|+1,|a_1|,\ldots,|a_N|\}\in\mathbb{R}\),则
\(\qquad|a_n|\le M\;(\forall n\in\mathbb{N}^+)\,\)即序列有界.
\(\qquad\)若\(\,\{a_n\}\,\)趋于\(\,A,A'\in\mathbb{R},\,\delta=|A-A'|>0\)
\(\qquad\)取\(\,\varepsilon=\frac{\large\delta}{4},\;N\in\mathbb{N},\,\)使
\(\qquad\delta\le|a_n-A|+|a_n-A'|< 2\varepsilon=\frac{\large\delta}{2}\;\small(n>N)\)
\(\qquad\)此为矛盾. 故必有\(\,A=A'.\)
定理1 设\(\displaystyle\,\lim_{n\to\infty}a_n=A,\,\lim_{n\to\infty}b_n=B,\,c\in\mathbb{R}\)则
\(\qquad\displaystyle\lim_{n\to\infty} ca_n = cA,\;\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=A\pm B.\)
\(\qquad\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_nb_n=AB,\;\;(B\ne 0\ne b_n)\implies\lim_{n\to\infty}\small\frac{a_n}{b_n}=\scriptsize\frac{A}{B}\)
证：只证定理最后那个论断.取\(\small\,N_1\)使\(\,|b_n| >\frac{|B|}{2}\small\,(n >N_1)\)
\(\qquad\)对\(\,\varepsilon>0,\)取\(\small\,N_2\,\)使\({\small\,|a_n-A|,|b_n-B|<} \frac{4^{-1}|B|^2\varepsilon}{\max(|A|,|B|)}\;\small(n>N_2)\)
\(\therefore\quad\big|\frac{a_n}{b_n}{\small-\frac{A}{B}}\big|\le\big|\frac{2(|a_n-A||B|+|b_n-B||A|)}{B^2}\big|<\frac{4\max(|A|,|B|)}{B^2}\frac{4^{-1}|B|^2\varepsilon}{\max(|A|,|B|)}\)
\(\qquad = \varepsilon\small\;\;(n>\max(N_1,N_2)).\quad\square\)

青山

这些垃圾玩意儿，去骗骗大学新生或许能得逞，在这里估计没人买帐~~~

花了那么多功夫，发这么复杂的贴，却没几个人理睬，不冤吗？

jzkyllcjl

关于数列{1/n}, 对全体正实数ε，他找不到是不等式成立的N。

elim

青山 发表于 2020-8-7 19:50
这些垃圾玩意儿，去骗骗大学新生或许能得逞，在这里估计没人买帐~~~

花了那么多功夫，发这么复杂的贴 ...

范副的这些说辞根本没有数学内涵, 泛痞子相. 无非是说, 数学对范副太过艰深, 有这点坦诚, 咱免了尖刻.

本论坛的大部分网友都不是数学专业的. 这个主题可以帮助对高等数学理论基础有兴趣的人. 对于 jzkyllcjl 之流, 也有迫使其说话严谨专业的意图. 自取其辱了一辈子, 看看是否最后能知道自己死在什么地方....

elim

jzkyllcjl 发表于 2020-8-7 20:01
关于数列{1/n}, 对全体正实数ε，他找不到是不等式成立的N。

你还是读不懂主贴极限的定义啊. 没有起码的文化就是不行. 多次指出, 吃狗屎误事啊.

11111qqqq

jzkyllcjl 发表于 2020-8-8 11:01
关于数列{1/n}, 对全体正实数ε，他找不到是不等式成立的N。

那样就不是“对于任意一个ε总存在N”，还是“存在一个固定的N使得对于任意一个ε”了吧。
首先这是量词顺序不能交换的问题。套用网上一句话：“没有人永远年轻，但永远有人年轻。”
其次既然说法有问题，把话说清楚点不就行了。

记得当初发明极限的严格定义时，\(\epsilon\)代表error（错误），\(\delta\)代表distance（距离），正好是第一个字母对应的希腊字母，知道这一点应该有助于记忆定义。

11111qqqq

可以稍微简化一点，存在函数定义域为\(R^+\)值域为\(N^+\)的函数\(f(x)\)，使得若\(n \gt f(x)\)则\(|a_n-A| \lt x\)。

再不行我记得张景中的书里有简化版定义，就是先定义极限为0（这个可以直接套标准定义，很方便），然后说如果\(f(x)-A\)的极限为0，那么f(x)的极限为A。

elim

11111qqqq 发表于 2020-8-7 22:50
可以稍微简化一点，存在函数定义域为\(R^+\)值域为\(N^+\)的函数\(f(x)\)，使得若\(n \gt f(x)\)则\(|a_n-A ...

像 jzkyllcjl 这种一辈子"从事"数学基础"改革"的副教授, 居然连极限的定义都糊里糊涂, 是不是应该上吉尼斯数学败类纪录?

jzkyllcjl

任意正数ε 与全体正数ε 的意义不同。在极限 存在的条件下，对任一确定的ε，都有N 存在，使不等式 成立，但对全体正数，使使不等式 成立的N 就找不出来！ 所以ZFC 形式语言 不完善。

elim

jzkyllcjl 发表于 2020-8-8 05:30
任意正数ε 与全体正数ε 的意义不同。在极限 存在的条件下，对任一确定的ε，都有N 存在，使不等式 成立， ...

jzkyllcjl 把\(\forall\epsilon>0\)"篡改成全体正数, 再将其栽赃到 ZFC 形式语言的恶行, 不能简单地归咎于他吃狗屎的坏习惯, 他应该是有自觉性的数学败类. 恶念多端和愚蠢至极其实都一样: 被人类数学抛弃. jzkyllcjl 活该.