应用完善的 Kempe换色理论证明四色定理

jiahaiqin

这是本人近十年的研究成果，请大家评头品足，批评指导。

雷明85639720

回复贾润沛等
1、我认真的看了你们的论文，但觉得你们在用纯理论单述的地方，有些说得还不明白，文字很难与图能对上号，而其他地方我都看明白了。虽有上述的问题，但我也基本明白你们是在说什么。
2、你们说是“完善的Kempe换色理论”，我看还不如Kempe原来的理论容易看明白。而是越来越复杂了。
3、换色主要是在链上换色。什么是链？即用两种颜色交替着色的一个序列就是链。在一条链中，把两种颜色的顶点所着的颜色相互交换就是换色。
4、4—轮构形就不说了，只说5—轮构形。Kempe的证明，并不是因为Kempe的换色理论有问题，而是Kempe把5—轮构形中的一种有“双环交叉链”的情况漏掉了。否则Kempe的证明将是完美无缺的。不可能后来被Heawood用一个含有“双环交叉链”的图（构形）给否定的。
5、把轮构形中由对角围栏顶点的颜色所构成的链叫对角链，一种对角链从一个对角到另一个对角是连通的时，叫连通链，这一条连通链与构形中的待着色顶点v共同构成了一个环（圈）；从一个对角不能连通到另一个对角的对角链是不连通链，它不能与待着色顶点v一起构成环。
6、解决四色问题主要是要从围栏顶点中空出一种颜色来给待着色顶点v。如果有一个围栏顶点与其对角顶点构成的链是不连通时，从这两个对角顶点的任何一个交换该链上各顶点的颜色，就一定可以空出一种颜色来给待着色顶点。但交换了连通链却是空不出颜色来的。
7、对于含有“双环交叉链”的5—轮构形，你们的文章中谈到了有一种是可以连续的移去两个同色b的情况，把b给待着色顶点v着上即可，这是对的，是正确的。但不能连续的移去两个同色b时的情况，你也是采用了一种连续转型的办法，这也是对的；但还有不足之处，后面再说。
8、所谓转型，就是使构形的峰点进行改变，即把5—轮构形中的两个同色顶点所夹的顶点的颜色和位置都进行改变。比如你的构形最初的峰点都是在顶点1上，当你从顶点2交换了b—d链后，构形的峰点位置就改到了顶点3上，峰点的颜色也改成了C。相应的两个同色也就由原来的b变成了d，由原来的顶点2和5，改成了顶点2和4。这就是转型交换。
9、你只说了不能连续的移去两个同色的构形可以用连续转型的办法进行解决，但没有解决最大进行多少次转型的问题。这就还能说明你们就证明了四色猜测是正确的了。
10、有没有用连续转型的方法永远也不能空出颜色的构形呢？有。这就是1921年埃雷拉构造的埃雷拉图（构形），我国的敢峰先生在1992年也用演绎的方法构造了该图。你们的证明中却没有注意到这一点。
11、但能不能说埃雷拉图不能用连续转型的办法空出颜色，四色猜测就不正确呢？也不能。虽然该图不能用连续转型的办法空出颜色，但可以通过别的交换办法空出颜色的，你们的证明中也没有注意到这一点。
12、埃雷拉图与Heawood—图一样，图中都有一条经过了转栏顶点的环形的色链（Heawood—图中有一条经过了顶点3和4两个围栏顶点的环形的C—D链，才能雷拉图中有一条经过了顶点2、1和5三个围栏顶点的环形的A—B链），这一色链都把另一条相反的色链隔在了该环链的两侧，交换任一侧的相反链，都可以使图（构形）中的“双环交叉链”断开，使构形（图）成为Kempe当年已经证明过是可约的K—构形。你们可以对你们的图7的Heawood—图和我给出的埃雷拉图用我说的方法试一试，看是不是能空出颜色来。也可以对我给出的埃雷拉图进行一下连续的转型，看是不是永远也空不出颜色来的。

13、可以把5—轮构形分为有“双环交叉链”的构形和无“双环交叉链”的构形。把有双环交叉链的构形中可以连续的移去两个同色B的构形与无双环交叉链的构形统一叫做K—构形，即Kempe—构形；把不能连续的移去两个同色B的有双环交叉链的构形叫做H—构形，即Heawood—构形。Heawood—构形中又可分为“有经过围栏顶点的环形链的构形”和“无经过围栏顶点的环形链的构形”，前者用“断链交换法”进行解决，即交换环形链两侧的任一条相反链，都可以使构形转化成可约的K—构形；后者用“转型交换法”进行解决，但一定要证明最大的交换次数是多少，即要有一个转形次数的上界值。没有上界值是不能说明转型次数是有限的，不是有限的也就不能说明四色猜测被证明是正确的。
14、如何证明无环形链的H—构形的转型次数的上界值是多少，就得要用有关埃雷拉图的转型特性了。埃雷拉图转型过程中，是以每二十次转形一个周期的进行循环的（四种颜色，五个顶点的最小公倍数是20），即每二十次转型，图中各顶点的颜色又都会与最初的颜色完全相同，20是一个循环周期。
15、埃雷拉图中有经过了围栏顶点的环形链，而我们这时说的却是无经过围栏顶点的环形链的构形，当然一定不可能与埃雷拉图有同样的性质——无穷周期限循环转型，那么一定是有限次的转型。
16、既然不会无穷周期限循环转型，那么一定要在第二十次转型之前（包括第二十次），一定是可以空出颜色来（即你们说的产生三端顶环）的。所以说20就是转型交换的最大交数。这也就是我对四色猜测的证明过程。
17、地图的对偶图是一个极大图，这是对的。但只要极大图的四色猜测是正确的，对极大图经去顶或减边得到的任意平面图的色数也只会减少而不会再增加。所以说极大图的四色猜测是正确的，则任意平面图的四色猜测也就是正确的了。所以证明四色猜测时，不一定都要用极大图（即你们所说的三角剖分图）。直接用任意平面图就可以了。这样你们证明的所谓“三角剖分图中不存在两条相反链都不连通”的情况就没有有用处了，是一个多余的证明。因为交换时必须是要交换不连通的链的，而连通链反而且是是不能交换的，交换了也是空不出颜色的。

雷明85639720

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