线性空间（向量空间）的一个问题

fm1134

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luyuanhong

分析 1 正确。只要有一条不满足线性空间的定义，它就不是线性空间。

fm1134

luyuanhong 发表于 2020-8-12 00:59
分析 1 正确。只要有一条不满足线性空间的定义，它就不是线性空间。

感谢陆老师的解答！
如果分析1对，而分析2错的话，那就意味着线性空间不可能是一个有穷集合。因为有穷集合中元素个数为有限个，不可能满足任意两个元素之和也属于该集合的条件（个别元素满足条件，但不能保证所有元素都满足）。
换句话说，任意一个有穷非空集合，必定不是线性空间。
不知这样理解是否正确？

luyuanhong

如果一个有穷集合中只有一个零元素，显然它能满足线性空间的各种要求，

所以这样的有穷集合是线性空间。

fm1134

luyuanhong 发表于 2020-8-12 04:02
如果一个有穷集合中只有一个零元素，显然它能满足线性空间的各种要求，

所以这样的有穷集合是线性空间。

只有一个零元素的有穷集合是一个线性空间，除此以外，其它的线性空间都是无穷集合了吗？

luyuanhong

如果线性空间 V 中有一个非零元素 α ，则按照定义，对于任何实数 λ ，

λα 必定也是 V 中的元素。因为 α 是非零元素，由无穷多个不同的 λ

就可以得到无穷多个不同的 λα ，所以，这时 V 必定是一个无穷集合。

可见，一个线性空间，要成为有穷集合，就不能有任何非零元素，只能有

一个零元素。

fm1134

luyuanhong 发表于 2020-8-13 00:04
如果线性空间 V 中有一个非零元素 α ，则按照定义，对于任何实数 λ ，

λα 必定也是 V 中的元素。因 ...

非常感谢陆老师的解答！                                                                                                                              


另外，空集是否也是一个线性空间呢？

luyuanhong

空集不违反线性空间的任何一条定义，

既然 “不违反” ，就没有理由拒绝，按照这样的逻辑，

空集可以算是线性空间。

fm1134

luyuanhong 发表于 2020-8-13 10:17
空集不违反线性空间的任何一条定义，

既然 “不违反” ，就没有理由拒绝，按照这样的逻辑，

空集就是没有任何元素的集合。既然没有任何元素，也就无法进行加法、数乘等代数运算，自然无法满足线性空间定义中的诸多要求。
因此，空集应该不是一个线性空间。
不知这样理解是否正确？

luyuanhong

你这样理解也可以。