当 p＞0 时，讨论广义积分 ∫(0,1)1/x^p dx 和 ∫(1,+∞)1/x^p dx 的敛散性

wufaxian

$0-1 代表0到1积分，0是下界。

     在这个图像中，点状线和虚线是典型的当 P<l或 P >1  y= 1/(x^P) 的图像．实线是 y=1/x, 它不足够接近于 y轴使积分  $0-1 1/xdx 收敛，也不足够接近于x轴使 $1-oo 1/xdx 收敛.在另一方面，对千任何P <1,  $0-1 1／(x^p)dx 是收敛的，因为点状线足够接近于y轴。当你查看 x轴时，这种情况是相反的：这时我们需要查看虚线，表示P >1 时的 y= 1/(x^p)，它足够接近千y 轴，所以  $1-oo 1/(x^p)也是收敛的．

   

以上给出的收敛和发散的理由，总觉得有点反常识。为什么足够接近于y轴在 0-1区间$0-1 1/(x^0.5) 就收敛呢？ 1/(x^0.5) 无论再怎么接近y轴，x也不等于0。且越接近y轴 数值越大。为什么就收敛了呢？书中给出这种讲解是否是因为这个结论的证明需要的知识范围已经超出了微积分的课程范围? 是否还有其他更容易理解，且不反直觉的方式来证明 1/(x^0.5)在0-1区间的积分是收敛的呢？

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-8-22 17:58

写的太棒了。非常感谢！