A={(x,y)|(x-2)^2+2y^2≤4}，B={(x,y)|x≤2y^2}，求 A∩B 绕 x 轴旋转一周所得的体积

wintex

請問用 she'll method 怎用？斜區域繞x軸旋轉？

小fisher

对x积分相当于把形状切成一个个圆环，所有圆环的面积相加得到体积；对y积分相当于把形状剥成一层层圆筒，所有圆筒的表面积相加得到体积。
理论上计算结果是一样的，但积分的难易程度差别较大。
另外除了[0,√3/2]区间内圆筒的高是\(2y^2-2+\sqrt{4-2y^2}\)外，还要考虑在(√3/2,√2]区间内，圆筒的高是\((2+\sqrt{4-2y^2})-(2-\sqrt{4-2y^2})=2\sqrt{4-2y^2}\)
因此要对y分两段求积分相加才能得到整个形状的体积。

luyuanhong

楼上网友 小fisher 说得很对！

求旋转体体积的方法很多，但是对于每个具体问题来说，各种方法的难易程度是不一样的。

我们应该选择其中最适合、最简单、最容易的一种方法来做，完全不必避易就难、自找麻烦。

例如对本题来说，如果按照第一楼中的想法，用切成一个一个圆柱筒形再积分的方法来做，

需要分情况讨论，要分成两个积分再加起来，每个积分上下限还要另外计算，积分式中都

有根号，积分起来也非常麻烦困难，所以，对本题来说，这种方法就是非常不可取的。

而按照下面我的计算方法，完全不需要讨论，积分式中没有根号，计算起来非常简单方便：

小fisher

前面说了，对y积分相当于把形状剥成一层层圆筒，所有圆筒的表面积相加得到体积，每个圆筒的面积等于底面周长2πy乘以高△x。
对y在[0, √6/2]和(√6/2, √2)分别求积分并相加得到体积公式为：
\(V=\int_0^\frac{\sqrt6}22\pi y(2y^2-2+\sqrt{4-2y^2})dy+\int_\frac{\sqrt6}2^\sqrt22\pi y(2\sqrt{4-2y^2})\operatorname dy\\\mathrm{应用公式}\;\int y\sqrt{a^2-y^2}dy=-\frac13\sqrt{{(a^2-y^2)}^3}+C\\\mathrm{可得}\int y\sqrt{4-2y^2}dy=\int\sqrt2y\sqrt{2-y^2}dy=-\frac{\sqrt2}3\sqrt{{(2-y^2)}^3}+C\)
体积公式前半部分计算结果是19π/12，后半部分计算结果是2π/3，最后得到结果也是9π/4

luyuanhong

楼上 小fisher 的解答很好！已收藏。