求有限项级数之和 ∑(n=1,99)1/(4^n+2^100)

wintex

請問這樣做為何不行？

luyuanhong

楼上的错误在于，说一共可以配 44 对，其实数列共有 99 项，一半就是 99/2=49.5 ，并不是 44 对。

我的做法是，将原来 1～99 的 99 项，次序倒过来，得到 99～1 的 99 项，然后两两配对：

1<-->99 , 2<-->98 , … ,  49<-->51 ，50<-->50 , 51<-->49 , … ，98<-->2 ，99<-->1 。

所以共有 99 对，每一对之和都是 1/2^100 ，99 对之和为 99/2^100 。

因为正向数列与反向数列配对相加，重复了 2 次，所以还要除以 2 ，就得到了 99/2^101 。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

wintex

luyuanhong 发表于 2020-8-22 22:23
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

陸老師我懂，但我要問的是我44對加完，再加單獨的45項，確加不回老師的答案

luyuanhong

注意：99 项两两配对，可以配成 49 对，剩下中间不能配对的一项，是第 50 项。

49/2^100 + 1/(4^50+2^100) = 49/2^100 +1/(2^100+2^100)

= 49×2/（2×2^100) + 1/（2×2^100) = (49×2+1)/(2×2^100)

= 99/2^101 。

你误以为 99 项只能配 44 对，误以为中间不能配对的一项是 45 ，当然就不对了。

费尔马1

陆老师的解法非常棒！学生我没有解出来，经过学习您的解答，使我顿开茅塞，学生我又学了一招，非常感谢老师！