为什么e^x，无论x取什么值，其泰勒级数都不变？

wufaxian

如上图。回顾一下x=0时泰勒级数的推导。有两个前提条件，形成了上述e^x的泰勒级数表达式。

1、e^x的任意阶导数是e^x。
2、e^0=1。所以才会有截图中的泰勒级数表达式。

可是如果x不等于0，例如等于2。那么上述第二个条件就不成立。因为e^2并不等于1。这事应该按照泰勒级数的表达式重写x=2。各项系数的表达式应该是 (e^2/n!)才对吧。所以截图中的说法不对?有什么我理解错的地方么？

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-8-26 22:30

谢谢老师的回复。首先原视频的意思是，由于e^x的泰勒级数是一楼图片中的那个表达式。那么要求e^2 就直接把x=2带入那个表达式就可以了。
可是根据泰勒级数的公式


在x=2的时候 e^x的泰勒级数公式首先应该写成 然后再带入x=2进行运算。而不应该再原来那个不变的公式上直接代入x=2计算啊。我是不是对泰勒级数有什么误解？


不过，结合视频上下文来看。我猜测作者的意思是：由于e^x的泰勒级数收敛区间是-oo到oo，所以不用像原始泰勒级数那样需要带入在x=a时将f'(a)，以及（x-a）带入泰勒级数公式。因此e^x的泰勒级数公式就是截图中那个万年公式：

但是我看到关于以上公式无论x=任意值时都生效的证明，觉得这名有问题，我将在下一个回复中说明我对这个证明的困惑。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-8-26 22:30

请看上图证明。题干部分要证明的是泰勒级数对每个x值收敛到f(x)。这句话的意思是不是就是：e^x对应的收敛区间是-oo到+oo。且其泰勒级数公式不用像原始泰勒技术公式那样针对x取不同的值，公式需要变化。而不能像e^x的泰勒级数那样完全用麦考林级数代替。换句话说他要证明e^x的泰勒级数于e^x 的麦考林级数完全一样。-----------如果我对题干理解没有偏差。那么他上来就将：
写在证明第一行。将需要被证明的内容作为证明的起点。这不是陷入循环论证了么？