用球体分割法解决最大平面图四色问题

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                       浙江  宁波  奉化  焦永溢

                             2019.11.30                 

    我在2007年5月21日发表的《用减少法证明最大平面图“四色问题”》一文，已经非常清楚地证明了最大平面（球面）地图的四色定理。文章在一些网站上登出来，评论的人中不懂的占多数，后来因为看到有这么多的人不懂，于2009年6月27日又发表了《简单明了的“四色问题”证明》，这其实是把原来的那篇证明的重点内容描写得更加详细，再增加了几幅示意图，目的是使更多的人能看懂。可是还是有许多的人表示不懂，我在这篇文章中讲得再简单扼要也没有了，再看不懂的话，这人的初中数学水平或者语文理解能力可能真的是不行了。

    网上也见到有个别懂得图论方面知识的人，认为我的思路方向很好，但还是存在一些疑问，最主要就是认为涂上颜色后的各区域，与外面其它区域着色有冲突时怎么办？这样说的人没有真正理解我的方法。因为我的方法中，并不是固定地在每块区域涂上颜色，如图1中，A和C不是一定要涂红色，可以是红、黄、蓝、绿中的任一色，那么B和E就可以是除了用过的一种以外的另三种颜色中的任一色，D就可用前面用过的两种以外的另两种颜色中的任一色，O才需要用到第四种颜色。就是说用我的“减少法”合并后，A、B（E）、C、D并没有固定各自的颜色，只要B（E）、C、D分别用四种颜色中任三种各不相同的颜色就行了，而A可以与C同色，也可与D同色。在整个平面图来说，这个单元结构与外界接触的只有三种颜色，第四种只在这个结构的中间，并且这四种颜色之间是可以任意互相调换的，不存在与外界着色冲突的问题。左边图的区域着色可以看成右边图的着色一样，这样就可以用右边的图来代替左边的图。

    后来一位真正懂得图论，对“四色问题”也有一定研究的大学教授（也是十多年来唯一认真看过我证明后与我交通的数学专家），他提出了另一个问题：如图2中A与C有连线产生短路，如果遇到三边形AOC中包含了多个点（图2下面的情况），这个B点怎么去掉？这个问题粗粗一看，确实很难解决，但细细一分析，真的是再简单不过了。下面就来分析一下这种三边形中包围进了许多点的情况。

    了解最大平面图这个概念的人都知道，最大平面图就是把整个平面图铺在一个球面上，并且要使整个球面上形成的多面体的每个面都是三边形。全是三边形所组成的球面拓扑图，如果要反过来画在一个平面上，可以把球面上任意一个三边形拉大到最大一圈（好像地球的赤道），其余的点、线、面就都挤压到球的另半边，从球的另半面看过来，就是这个三边形在整个图的最外面。最大平面上的任何一个三边形都可拉大成为最外面的一圈。要是在最大平面图中间的某个三边形中又存在许多的点，就是成了上面说的三边形AOC中包围了许多点的情况，这个三边形的外面与里面都是有许多的点。这种情况下仍旧可把这个三边形拉大到球的最大圈（赤道）上，这个三边形外面的点与里面的点就分别成了南北半球上的点。如果沿着这三边形的这一圈线（也就是赤道）把球切成两半，除了这三条线和三个点分别属于两个半球所共有，其它的点和线就南北分开各不相干，而半球体与球体在拓扑上是完全一样的，就是说可以把原来的一个球体分割成为各自独立的两个球体。接下来分析各点如何着色，就完全是在两个各不相干的球面上分析了。如果这分开来的球面上的点之间又有这种短路现象出现，又可重复上述的操作把三边形外的点与内的点分割开来成为各不相干的两个球。这就好比一个芋头上长出一个甚至多个芋子来，可以把这些芋子掰下来单独成为球体来看待，芋子上如再长出芋孙，也可把芋孙掰下来单独成为一球体；子球可以大于母球，所以各球之间不分母子，更可以看成是连体儿，把各球分割开来好比是给连体儿做分离手术。所以用我的“减少法”证明“四色问题”的过程中，遇到图2所示的短路情况，可以把短路后形成的三边形OAC内的所有点和线，全都与原球体分割开来在另一球面上再来分析。这样一遇到有短路就分割，一遇到有短路就分割，直到每一个独立的球面上的点和线都没有短路现象为止。那么在各自的球体上，都可用我的“减少法”去进行四着色了。各个球体可以如糖葫芦一般串成个个相连的一长串（只要长串的球不要首尾相接变成环，在拓扑中的性质还是一个球体），也可以摘开来成为独立的个体。而摘开来后只要分析各个球上自己的着色关系就可以了。这分开来的球体各自分析，只要两球连接的共同部分这三点着色对应相同，其它部分都是各不相干的。

    上面分析了一个三边形内外都分别有许多点的情况下，可沿这三边形分割成独立的两个球来处理。其实除了三边形内外都有许多点的情况，一边形（就是只有一个点，比如地球上的海洋）分别包围多个点（比如地球上各个岛和陆地）的情况；还有二边形（就是二个点相互有二条连线）内外分别包含许多点的情况；这两种情况也可与上面相同的方法沿这个点或二边分割成两个各自独立的球。

    第一种就是海洋与每块陆地或岛屿可单独成为一个球体，每个球体上的海洋这一点是共同拥有的，合在一起时就相当于若干个子球与母球都是点接触，分割开来后除了这一点是共同点，其余各球之间的点都是互不相干的。这个分割手术后只留下一点作为创口，可以忽略不计。

    第二种沿二边形分割后，属于共同的这二个点二条线中间就没有点了，可把这二条边看为一条，这个子球与母球合在一起时只是二点二线一面接触，而分开后二线可合为一线，一个面也就消失。这个分割手术后只留下一条线作为创口，也是可以忽略不计的。

    前面沿三边形分割球体，分割后属于两球共同的是这三个点三条线和一个三边形，这两球体之间就是以这个三边形为接触面的面接触，这三边形也就是这个分割手术后留下的创口。这个三边形的小创口已经是最小的创口了，整个球面上全是三边形，全是这样的最小创口，这最小的创口存在与否，不会影响整个图的性质，也是等于没有创口。

    那么用这种分割法来分析球面图四着色的方法，能不能把大于三边的一圈当赤道来分割成两个半球呢？只要分割后在两个各自的球面上把这个多边形的创口作适当的处理，同样也是行得通的。那么下面就来说一下这个多边形的创口该如何处理。

    上面已经讲了遇到一边形、二边形、三边形内与外分别都有许多点的情况，可把内与外分割成两个球来处理。在这样的处理过程中，为了避免短路现象的产生，必须遵行一个原则，就是与我用减少法合并处理多点包围一点结构时一样，也是先处理全图中的一边形，再依次处理二边形、三边形。等这三种全处理后，分割下来独立的各自球体中，除了总点数少于等于四的球（总点数都是四以下，不用分析也是肯定四色足够），其余需要分析的球上都已经没有小于等于三度的点（一旦出现就要被当成小的芋子一样切割下来）。图论里已经有一个定理：最大平面图中度数最小的点，一定是等于或小于五度的。这样就只有四度和五度的这两种情况需要分析。

    对于四度的点，如果沿着包围它的一圈当赤道切割下来，两半球的接合面就会形成四边形的一个创口。如果用中间加一点，再与四边形四个顶点画连线的方法处理这个创口，割下小的子球等于四棱锥的底面中加一点再与面上的四个点画连线，就成了一个六个点（每点都是四度）、十二条线、八个面的多面体。而分割后的母球的创口处理后仍旧成了原样，等于白白切割了这一刀。所以在处理这个四边形的创口时不能这么操作，而是应该以其中一条对角线为对称轴，把对称轴两边所对应的点和线合并到一起（其实就是我的减少法中的合并方法），只要这四边形的四点间没有短路现象，就可以这么操作。这样处理创口后，割下来的子球就成了这面两个相邻的三边形、反面也两个相邻的三边形的扁平四方片。而割下来的母球上，创口上的点和线合并后，这没合并的对称轴两端的这两点的度数都是减少了二度（见图3左边A点和C点），下一步就可以再继续找球面上度数少的点进行这样的操作。两个球的共同部分（切割后的创口）从四个点、四条线合并成了三个点A、B（D）、C和二条线AB（D）、B（D）C。两球上只要A、B（D）、C这三点着色时对应相同，其它各个球上的点就可各自处理了。

    对于五度的点，如果也沿着包围它的一圈切割下来，两个半球的接合面就会形成五边形的一个创口。如果也用中间加一点，再与五边形五个顶点画连线的方法，同样也是白白切割了这一刀。这时也需要用我的减少法中的合并方法来合并周围的点，因为周围的点是奇数，不可能完全把对称的点合并，还要剩下一个三边形，只要这五边形外围的点之间没有短路现象，也可以这样操作的（图3的右边）。这样处理创口后，割下来的子球就成了一个三棱锥，再在一条棱上长一个三边形的薄片，仿佛背上长鳍的一条鱼。而割下来的母球上，创口上的点和线合并处理后，没合并的三个点A、C、D度数都是减少的，下一步又可以继续在球面上找度数少的点进行这样的操作。两个球的共同部分（创口）从五个点、五条线合并成了一个三边形B（E）CD再加上一个点A和一条线AB（E）。两球上只要这三边形的B（E）、C、D这三个点及外加的A点着色时对应相同，其它各个球上的点也可以各自处理了。

    上面的这两种合并的方法就如在连体儿分离切割手术后对创口的缝合，还有一种更加简单的操作不用这样的缝合，而是在多边形的创口上采用另一种扇形分割法。如图4所示，在把这个球面上的多边形分割为三边形时，不是用前面的中间加一点，再向周围各点画连线（仿佛中心点向外放射光芒状）的方法；而是从其边上的一个点A向其余各点画连线（仿佛展开的折扇状）的方法。这种折扇形分割法，把多边形分割成三边形时，球面上点数没有合并减少，但线数是减少的（这个射线出发点两旁的点B和F不用画连线，度数一定比原来的要小）。分割开来的两球多边形创口上，都对应地这样做创口处理，这个射线出发点A用一种颜色，其余B、C、D、E、F各点依次用第二和第三种颜色（周围点数是偶数时A点可与C、E同色只要二种颜色就够了）。用这种处理方法，两球分割开来的共同多边形，就变成了连在一起的几个三边形，只要这几个共有的三边形上的对应点着色相同，两球上其余互不相干的各点就可以在各自的球上自行处理。做好了以上这一步后，又可在球面上找度数最少的点进行这样的切割操作。

    通过以上的分析，不但点接触、线接触以及三边形面接触的两球体可分开来分析，有着更大的共同多边形相连的两个球也可分割，就是说不一定从葫芦形细小的地方来分割，可以从任何一个圈切开来，就连原来没有明显葫芦状的任何球的变形体，前提只要是连线能围成圈，并且这圈上的点之间没有短路现象，就可沿着这一圈线切割下来。这样切割后，只要两个球切割面多边形上的对应的点，作相同的划分成三边形处理，一直是可以一步步切割下去的，直到每一小块上的点数少于等于四为止。就像一个芋头上的大小芋子可以切割下来，每一个芋子上的芋孙也可以切割下来，并且在每个单独的球体（芋头或芋子、芋孙）上还可以下刀切割（前提是切口多边形的周围点之间没有短路，切下后两个球体上的创口要作对应相同的最大化，也就是多边形分割成三边形处理），就如把大的芋头或芋子、芋孙再切为几块，一直切到每一小块上的点只剩四点和四点以下，这样每一块都是四种颜色够了。反过来操作，把每一块着四色的碎芋块（包括分割开来的芋子及碎块），拼合起来就能成为大的芋头和芋子的结合体。每个小块四色足够了，整个拼起来的球面体也就四色足够了。这个结论就是任何复杂的球形多面体，都可由许多块四点及四点以下的多面体拼合组成，而每一小块的点只要四种或四种以下颜色组成，整个合成后也是只用四种颜色就够了。也就是说，我最早写的《关于“四色问题”的证明》和《彻底解决“四色问题”》两篇文章中的分析是对的，任何复杂的最大平面图，都是由许许多多的三边形及三点包围一点图形所组成。

jyy630907

图片传不上

雷明85639720

1、你得想办法把你的图传上来，没有图怎么能看明白呢？
2、大数学家看了你的证明，提出了发生了颜色冲突怎么办的问题，你就应该直接回答这一问题，把颜色冲突的问题解决了即可说服人家。
3、各面都是三角形的球面上的极大图，其中的任何一个三角形面，都可以转化成无限面，把球面图变成极大平面图。
4、你在回答大数学家提出的颜色冲突的问题时，就必须构造发生颜色冲突的“构形”。比如，只有一个5度顶点未着色的图，当这个5度顶点在不可能只通过一次含有构形围栏顶点的坎泊交换，就可着上四种颜色之一的情况下，如何能给其着上四种颜色之一，这就解决了大数学家提出的问题。
5、当你把可能的不可避免的构形中的待着色顶点都能着上四种颜色之一时，四色问题就被你证明是证确的了。
6、但这个不可避免的构形集是要进行证明的，一定要证明，除此之外，再也不存在其他的不可避免构形了。这样才能算作证明结束。你所得出的任何平面图都是可4—着色的结论也才是正确的；否则，你就是得出了平面图都是可4—着色的结论，也不能说明你的证明就是正确的。
7、朋友，请你好好的考虑我提出的问题！

jyy630907

我的减少合并法在用的时候必须遵行一个原则：要当中心点去掉的这个点，必须是外围点之间没短路现象！为了确保没短路现象，在图中要先找度数小的点作中心点处理！按我这个原则处理，每一步就绝不会遇到冲突问题！

雷明85639720

请你把我给出的这个图的未着色的面或顶点着上图中已用过的四种颜色之一。

jyy630907

用我的方法去做，决不会遇到走不通的死胡同，这减少法在操作中只有两种情况，就是奇度数的点怎样减少合并和偶度数的点怎样减少合并，其他问题根本就不用考虑。

雷明85639720

1、“修改过来”，有可能吗？
2、我转我给别人的评论一贴，请你也学一学：

沟道先生：我再说一次：
1、你这样的无限的着色，是解决不了四色猜测的证明的。你着了几天，24种模式着完了没有呢？那么，离用“色式”计的模式种数还差得很远呢！
2、证明四色猜测，不解决颜色冲突的问题是不行的。所谓颜色冲突，就是当遇到一个待着色的顶点（或区域）的相邻顶点（或区域）已点用完了四种颜色的情况。
3、解决颜色冲突就是如何在已着色的图的基础上，如何能通过颜色交换，从待着色顶点（或区域）中空出一种颜色来，给待着色顶点（或区域）着上。
4、所有的颜色冲突的情况都解决了，四色猜测也就解决了。
5、一种颜色冲突就是一种构形，也即不可避免的构形，由所有的不可避免的构形构成的集合就是平面图（或地图）的不可免构形集（简称不可免集）。
6、由于任何平面图中都存在着度小于等于5的顶点，是不可避免的，在所以平面图中度小于等于5的顶点是不可避免的存在的。
7、同理，在地图中也一定都存在着相邻区域数小于等于5的区域，也是不可避免的。
8、这些不可避免的构形中的待着色区域（或顶点）的着色问题不解决，四色猜测是不能彻底证明的。
9、尽管地图中不存在大于等于5个区域两两均相邻的情况（对应的在平面图中也不存在大于等于K5团的情况），但不能因为这两种情况着色的色数是5，就说任何地图或平面图的着色数都是不大于4的。
所以说，证明四色猜测时必须解决颜色冲突的问题。即必须解决不可免集中的所有不可免构形都是可约的问题。
你如果有精力，你就纪年续的着色吧，看你什么时候能把所有的地图都着色完呢？
你所进行的着色工作，只能说是对四色猜测的一种验证。
因为四色猜测客观上就是正确的，所以你所着色的地图都一定是4—可着色的，不可例外。
而现在我们所进行的工作是要进行证明，而不是进行验证。

雷明85639720

1、你既然认为我的方法是证确的，那为什么不敢给我的图着色呢？
2、吿诉你，我的图不是随心所欲的着的，我所用的颜色数是没有超过4的，怎么能叫随心所欲呢？
3、何况着色过程就是随心所欲的，同一个图，不同的人，有不同的着法。只要颜色数不大于4就可以了。何况我那个图的着色并不是你所说的随心所欲的，就是你没有看出来而已。
4、还是要请你着色!且是在我着色的基础之上进行着色。并说明着色的过程。
5、那个图我已经给了你着色的过程，就只等你回复我了。

雷明85639720

焦永溢朋友：
1、我记得你对中国地图的着色中，到了重庆还是那个省时，说了这么一句为了防止出现其外围省用完四种颜色，怎么怎么等等，这不就是在解决颜色冲突吗？
2、问题是你这只是遇到了一种颜色冲突的情况，这里虽是解决了。但若再遇到了别的颜色冲突的情况时，能不能解决，还是另一回事。
3、所以说，研究四色问题主就是研究颜色冲突的问题，是人为的构造出各种颜色冲突的情况（这就是不可免的构形），把所有的颜色冲突的情况都解决了，四色猜测的证明也就解决了。
4、但这个各种颜色冲突的情况是要经过证明是完备的，即除此之外，就再也没有别的颜色冲突的情况的情况了。
5、我以为这就是最好的证明四色猜测的方法。

雷明85639720

四色猜测证明的提纲（之二）
雷  明
（二○二○九月十日）

1、把地理问题转化成数学问题
1、1  地图是一个无割边的3—正则平面图，其对偶图就是一个极大的平面图；
1、2  给地图的面上的染色就相当于对其对偶图——极大平面图——的顶点着色；
一个地理问题就转化成了数学问题了；
1、3  只要极大平面图的色数不大于4，则对极大平面图经“去顶”或“减边”后得到的任意平面图的色数只会减少而不会再增加，所以任意平面图的色数也是不会大于4的；
所以，只要证明了极大平面图的四色猜测是正确的，也就证明了任意平面图的四色猜测也是正确的，任何地图的四色猜测也就是正确的。
2、把无穷的问题转化成有穷的问题
2、1  地图的种类或平面图的种类都是无穷多的；
2、2  一个地图中的区域或一个平面图中的顶点也可以是无穷多的；
2、3  地图中各个区域或平面图中各个顶点所相邻的区域或顶点也可以是无穷多的；
因此，可以看出四色问题所研究的对象是无穷多的，四色问题是一个无穷的问题。
2、4  任何地图中一定含有相邻区域数不大于5的区域；
这样的区域就是地图中的不可避免区域，这些不可免区域就构成了地图的不可免区域集；
2、5  同样，任何平面图中也一定含有相邻顶点数（即度）不大于5的顶点；
这样的顶点也就是平面图中的不可避免顶点，这些不可免顶点也就构成了平面图的不可免顶点集。
研究四色问题，主要就只研究平面图中这些个有限的5种不可免顶点的着色就可以了。
这就把一个无穷问题转化成了一个有穷问题了。
3、平面图的构形，不可免构形与颜色冲突
3、1  对图着色时，总能遇到与待要着色的顶点相邻的顶点都着了颜色的情况，这种情况就叫构形；
3、2  把待着色顶点的度小于等于5的构形叫做不可免构形，由所有不可免构形构成的集合叫平面图的不可免构形集。
3、3  着色时，也总能遇到不可免构形的围栏顶点占用完了四种颜色的情况，这时的待着色顶点应如何着色？这种情况就叫颜色冲突。
在解决四色问题的过程中，在发生了颜色冲突时，不可免构形中的待着色顶点该如何中着色，是一个关键的问题。
把所有可能发生颜色冲突的不可免构形中的待着色顶点都能着上图中已用过的四种颜色之一（即可约）时，四色猜测也就被证明是正确的了。
4、发生了颜色冲突时的解决办法
4、1  待着色顶点的度小于等于4的不可免构形和一部分待着色顶点的度等于5的不可免构形在发生了颜色冲突时，坎泊在1879年都已经解决了；
4、2  只有待着色顶点的度等于5时的不可免构形中含有双环交叉链的一部分构形在发生了颜色冲突时，至今仍没有解决；
所谓双环交叉链，是指与待着色顶点相邻的5个围栏顶点中，从A色顶点到C色顶点的A—C链和从A色顶点到D色顶点的A—D链，不但有共同的起始顶点A，而且链的中途还有相交叉的A色顶点，两链均与待着色顶点V一起构成了一个环，所以叫做双环交叉链。
4、3  今天，我们研究四色问题，主要是研究对含有双环交叉链的不可免构形的解决办法。
4、5  所有含有双环交叉链的构形的着色都能得到解决时，四色问题也就解决了，即可得出四色猜测是正确的结论。
5、具有双环交叉链的构形的解决办法
5、1  有一种构形虽然具有双环交叉链，但却是可以连续的移去两个同色的，将该颜色空出，给待着色顶点着上；
5、2  还有一种构形是不可以连续的移去两个同色的，通过一次或两次交换也是不可能空出任何一种颜色来的。
由于不可连续的移去两个同色是因为含有双环交叉链而引起，那么就得想办法对双环交叉链进行破坏，使其断开或不交叉。可以看出，只要改变了双环交叉链的共同起始顶点的颜色，或者改变了各链的未端顶点的颜色，或者改变了两链的交叉顶点的颜色，双环交叉链就都会断开。把这样的顶点就叫做关键顶点。
这种构形又有以下两种情况：
5、2、1  有经过围栏顶点的环形链的构形：该环形链把图中的另一条相反链分隔成该环内、外互不连通的两部分。交换该环内、外的任一部分与环形链呈相反链的链，就会使关键顶点改变颜色，使双环交叉链得到破坏。
所谓相反链就是把链中两种颜色都不相同的两条链叫做相反链。即环形链是A—B链时，交换与其相反的链是C—D链，当环形链是C—D链时，则交换与其相反的链是A—B链。把这种方法叫“断链交换法”。
5、2、3  无经过围栏顶点的环形链的构形：这种构形中的A—B链和C—D链都是直链，且各只有一条，只能交换一个关于两个同色的链，先移去一个同色，使构形进行转型。可以证明，任何这样的构形，都一定会在有限的20次转型之内，转化成可以连续的移去两个同色的构形的。
这一结论的得来，是由于埃雷拉图（是一个有环形链的不可免构形，可以使用断链交换法进行解决）在进行转型时，是以每20次转型为一个周期的无穷循环转型的构形。这一方法只所以叫转型交换法，是因为在移去了一个同色后，构形的类型就会发生一次变化。其变化的主要标志就是构形的峰点位置和颜色都与交换前是不同的。
但埃雷拉图是一个有环形链的构形，而这里所研究的构形却是一个无环形链的构形，根本就没有埃雷拉图那样构成无穷周期循环转型的条件。因而这种构形只能在第20次转型（包括第20次）之前就可以转化成可以连续的移去两个同色的构形了。
6、四色猜测是正确的
6、1  现在，平面图的不可免集我们已经得到了，并且也证明了它是完备的，即再也没有在其之外的任何不可免构形了。
6、2  待着色顶点的度是小于等于5的构形全都有了；可以连续的移去两个同色的构形和不可连续的移去两个同色的构形也都有了；含有经过围栏顶点的环形链的构形和不含经过围攻栏顶点的环形链的构形也都有了。
6、3  不可免的构形集是完备了。
6、4  所有的不可免构形都已经是可约的了，即其中的待着色顶点都是可以着上图中已用过的四种颜色之一的。
6、5  平面图的四色猜测是正确的，地图的四色猜测也是正确的。
证毕。

雷  明
二○二○年九月十日于长安

注：此文已于二○二○年九月十日在《中国博士网》上发表过，网址是：