判断交错级数 ∑(n=1,∞)(-1)^(n+1)(3+n)/(5+n) 的敛散性

wufaxian

请看上图，只看绝对值，收敛到1，已经不用考虑原始级数的敛散性了，按说交错级数应该绝对收敛。可是答案为什么显示是发散？

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-9-13 12:18

谢谢lu老师的详细回复。很受启发。我对照了一下你的答案。觉得我的思考过程可能存在误区。将思考过程展现出来请你看看我的新认识是否正确，如仍存在误区望你指正。

本题我判断交错级数的绝对值 在n趋向oo时，(3+n)/(5+n)趋向1，故级数绝对收敛。---------------在这里我误将数列敛散性的判定法应用于了级数。如果 (3+n)/(5+n)是一个数列的表达式，那么我们说这个数列收敛，且收敛到1是正确的。但是当他是一个级数的时候说他收敛就是错误的。级数敛散性判定唯一有用的常数就是0，且只有第n项不等于0的时候，可以判定级数发散。但是级数第n项等于零则无确定结论。因此级数判定只能应用p值判定法，积分判定法，比较判定法，根式判定法，比值判定法等方法判定敛散性，我们很少讨论级数收敛到某一个常数。
相反，当我们讨论数列是否收敛的时候则不能应用上述级数判定方法。例如数列1/x^0.5，就是收敛到0的数列。我们绝不能应用p值判定法说他是x->oo时是一个发散的数列。数列收敛时必将得出一个收敛常数。而级数收敛时常常不讨论其收敛到哪个常数，我们只说级数收敛还是发散。

------------------------不知道我以上想法是否有误？

luyuanhong

楼上的看法基本正确。最关键的是，我们要明白：

一个级数 ∑(n=1,∞)an 的收敛发散，与级数中各项组成的数列 {an} 的收敛发散，并不是一回事。

有一点补充：不管是级数，还是数列，如果它是收敛的，其实我们都希望知道它收敛到什么常数。

但是，要具体求出收敛到的精确的常数值，在大多数情况下，往往是比较困难的。因此只能退一步，

只限于判别出它是否收敛就算了。总之，是否求出收敛到的极限值，与它是一个级数还是一个数列

没有关系。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-9-13 14:38
楼上的看法基本正确。最关键的是，我们要明白：

一个级数 ∑(n=1,∞)an 的收敛发散，与级数中各项组成 ...

谢谢lu老师的回复。确实，我看的托马斯微积分在级数这部分似乎没有涉及如何求解级数的极限值。我看网上有关概率的文章“数学期望和方差推导有些要用到级数，好像还要用到泰勒级数，计算也不简单”

不知道不会求级数的极限值是否会影响未来概率知识的学习？