已知 a,b,c∈R+ ，a^2+b^2+c^2+abc=4 ，求证：a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc≤4

llshs好石

请老师们帮忙

llshs好石

没人帮忙

王守恩

\(当a=b=c=x时有最大值\)

\(a^2+b^2+c^2+abc= x^2+x^2+x^2+x^3=4 ，解得x=1\)

\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc最大值= x^4+x^4+x^4+x^3=4\)

波斯猫猫

供参考：（1）a,b,c∈R+ ，4=a^2+b^2+c^2+abc≥4（a^3b^3c^3）^（1/4），即abc≤1；
（2）欲证a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc≤4 ，只需证明a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≤3；
（3）由a^2+b^2+c^2+abc=4有a^4+b^4+c^4+2（a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2）=（4-abc）^2，
又a^4+b^4+c^4≥a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2，故3（a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2）≤（4-abc）^2=9，
即a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≤3.
注：以上“≤或≥”，当且仅当a=b=c=1时，等号成立。

luyuanhong

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llshs好石

波斯猫猫 发表于 2020-9-20 21:29
供参考：（1）a,b,c∈R+ ，4=a^2+b^2+c^2+abc≥4（a^3b^3c^3）^（1/4），即abc≤1；
（2）欲证a^2b^2+b^2c ...

因为abc≤1
所以3≤4-abc<4

llshs好石

王守恩 发表于 2020-9-20 14:12
\(当a=b=c=x时有最大值\)

\(a^2+b^2+c^2+abc= x^2+x^2+x^2+x^3=4 ，解得x=1\)

luyuanhong

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llshs好石

luyuanhong 发表于 2020-9-21 07:20
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陆老师您好，是否能证明a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥a+b+c?