空间曲面的光滑性和连通性之间的关系是怎样的？

fm1134

........

luyuanhong

空间曲面的光滑性与连通性没有关系，下面举一个简单的例子：



这个曲面显然是光滑的。

曲面分成两叶，在两叶上各取一点，显然不可能用一条曲面上的线，将两点连起来，所以它是不联通的。

fm1134

luyuanhong 发表于 2020-10-7 23:59
空间曲面的光滑性与连通性没有关系，下面举一个简单的例子：

个人感觉陆老师给出的例子是分段光滑的，这是因为在x∈(-a,+a)这段空间区域内，曲面方程是没有定义的，没有定义，当然也就谈不上光滑了。
而在每个光滑段内（即x≥a和x≤-a这两段空间区域内），曲面既是光滑的，也是单连通的，也是连通的，并没有违反“（光滑）→（单连通）→（连通），但反之不一定成立”的结论。

luyuanhong

请看下面的旋转抛物面。

按照你的说法，它在 z∈(-∞,0) 这段空间区域内，“曲面方程是没有定义的”，难道它也是不光滑的吗？

fm1134

luyuanhong 发表于 2020-10-8 13:30
请看下面的旋转抛物面。

按照你的说法，它在 z∈(-∞,0) 这段空间区域内，“曲面方程是没有定义的”，难 ...

曲面方程在z∈(-∞,0) 这段空间区域内没有定义，意味着在z∈(-∞,0) 这段空间区域内没有曲面，没有曲面，谈何光滑？
4楼例子中的曲面个人认为只能在z∈(0,+∞)的空间区域内才算是光滑的，z∈(-∞,0)的区域内，没有曲面，当然也就谈不上光滑了。