求空间中两平面的交点，为什么另一个坐标为0就必定能找到交点？

wufaxian

请看上图红线部分。设想一下，如果两平面的交线正好平行于坐标轴x和y张成的平面（平行但不重合）那么两平面全部交点必然都在这个直线上。因此交点的坐标当中z必然不等于0。如果是这样那么设z=0理论上就不能得到两平面的交点了吧？如果是这样要怎么样正确的求两平面的交点呢？

luyuanhong

求两个平面 Ax+By+Cz=D 与 Px+Qy+Rz=S 的交点，就是要求出一组能同时满足这两个方程的 (x,y,z) 。

如果是两个方程、两个未知量，通常可以求得唯一解。而现在是两个方程、三个未知量，多了一个未知量。

所以，(x,y,z) 中有一个未知量可以先任意给定一个值，再求其他两个未知量，一般往往就先设 z=0 。

但是，正如楼上举的例子，有时设 z=0 以后，会出现两个方程 Ax+By=D 与 Px+Qy=S 无解的情况。

这时，我们可以改变做法，比如可以设 y=0 ，或者设 x=0 ，再看看这样得到的两个方程是否有解。