三维空间中不在同一平面的两个向量A 、B 相加之后的向量必定和A在同一平面么？

wufaxian

向量加法应该满足交换律吧？因此A+B 与B+A结果没有差别。那么假如三维空间向量A和向量B不在同平面（起点也不相交）。两个向量还是可以相加，那么相加后的向量必然与A向量在同一平面么？如果不是那么下面这个例题就无法得到证明了！

证明过程如下图


以下是在geogebra中绘制的图像


我们可以看出向量p确实在x+y-2z=2 平面上。但是向量u和v均不在这个平面上。而是平行于x+y-2z=2 平面。但是这不妨碍我们将题目化解成r(t)=p+cos(t)u+sin(t)v。 我们假设t=0的时刻。等式变成r(t)=p+u  。其相加结果必然在p所在的平面x+y-2z=2 上么？如果不是那随着t变化形成的圆就不必然在x+y-2z=2 平面上。那么这道题就无法被证明了！！也就说圆将不在平面x+y-2z=2 上！

如果说等式变成r(t)=p+u 相加结果必然在p所在的平面x+y-2z=2 上，那么理由是什么？

下面的链接是该题的geogebra在线版。无需安装可以直接在浏览器打开！
geogebra。org撇classic撇etc9b4ud

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波斯猫猫

无论在平面上还是在空间，向量都是自由向量。任何向量都是可以平移的，通过平移，可以把自由向量归结为以某个点为起点的位置向量。在坐标系下讨论的向量，实质上都是以原点为起点的位置向量，其向量一般是用坐标表示的。

wufaxian

波斯猫猫 发表于 2020-10-24 20:14
无论在平面上还是在空间，向量都是自由向量。任何向量都是可以平移的，通过平移，可以把自由向量归结为以某 ...

谢谢回复。那么回到截图的题目上。方程画出的圆在不在x+y-2z=2 平面上是有确定答案？还是没有确定答案？如果没有确定答案。就无从证明吧。
不知道我的认识是否正确？

波斯猫猫

我们可以看出向量p（p=(2，2，1））确实在x+y-2z=2 平面上？它的起点（原点（0，0，0））在平面x+y-2z=2 吗？其实只有终点P在这个平面上。

wufaxian

波斯猫猫 发表于 2020-10-24 21:33
我们可以看出向量p（p=(2，2，1））确实在x+y-2z=2 平面上？它的起点（原点（0，0，0））在平面x+y-2z=2 吗 ...

你说的对，确实只是终点p在x+y-2z=2这个平面上。是我表述错误。
方程r(t)=p+cos (t)u+sin(t)v这样的方程确实会围绕点p画一个圆。圆的半径等于｜u｜=｜v｜。这个圆在x+y-2z=2这个平面上么？为什么？