求 (sinθ)^4+(cotθ)^4+(secθ)^4 的最小值

波斯猫猫

（sinθ)＾4 +（cotθ）＾4 +（secθ）＾4 是否存在最小值？如果存在，最小值是多少？如果不存在，为什么？

天山草@

最小值是零。最大值无穷大。

天山草@

elim 是对的。最小值并非是零。
最小值准确地等于 5。

王守恩

天山草@ 发表于 2020-11-4 08:52
elim 是对的。最小值并非是零。

N[Minimize[{Sin[a]^4 + Cot[a]^4 + Sec[a]^4}, {a}], 50]
{5.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
{a ->0.73032876174288416024107960081703542558013601533079}}

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-4 09:29
N[Minimize[{Sin[a]^4 + Cot[a]^4 + Sec[a]^4}, {a}], 50]
{5.000000000000000000000000000000000000000 ...

Minimize[{Sin[a]^4 + Cot[a]^4 + Sec[a]^4}, {a}] // FullSimplify
{5, {a -> 2 ArcTan[Root[1 - 2 #1^2 - 33 #1^4 + 4 #1^6 - 33 #1^8 - 2 #1^10 + #1^12 &, 3]]}}

天山草@

应该把原式  Sin[x]^4 + Cot[x]^4 + Sec[x]^4  先化简。如何用 mathematica 先把原式变成一个分式？

luyuanhong

波斯猫猫

下面是网友 王守恩 发表在《数学中国》论坛上的一个帖子：
a,b,c 是互不相同的实数，证明：[(a-b)/(b-c)]^2+[(b-c)/(c-a)]^2+[(c-a)/(a-b)]^2≥5.

本题背景源于上面的题目。在解答“不妨考虑a＞b＞c，令a-b=x，b-c=y，a-c=z，则z=x+y（x、y、z∈R+，...."过程中，曾令x=z（cosθ）＾2，z=（sinθ）＾2，则[(a-b)/(b-c)]^2+[(b-c)/(c-a)]^2+[(c-a)/(a-b)]^2=(x/y)^2+[(y/(x+y)]^2+[(x+y)/x]^2=（cosθ/sinθ)＾4 +（sinθ）＾4 +（1/cosθ）＾4=（sinθ)＾4 +（cotθ）＾4 +（secθ）＾4.因此思路产生的方次较高，被放弃。

王守恩

波斯猫猫 发表于 2020-11-4 13:32
下面是网友 王守恩 发表在《数学中国》论坛上的一个帖子：
a,b,c 是互不相同的实数，证明：[(a-b)/(b-c)]^ ...

谢谢 波斯猫猫！我没去想那么复杂的，只是作了个因式分解。

Factor[((a - b)/(b - c))^2 + ((b - c)/(c - a))^2 + ((c - a)/(a - b))^2 - 5]
(a^3 - 2 a^2 b - a b^2 + b^3 - a^2 c + 6 a b c - 2 b^2 c - 2 a c^2 - b c^2 + c^3)^2
/((a - b)^2 (a - c)^2 (b - c)^2)
\(已知a,b,c是三个互不相同的实数，如何证明？\)

\(\displaystyle(\frac{a-b}{b-c})^2+(\frac{b-c}{c-a})^2+(\frac{c-a}{a-b})^2\geqslant 5\)

\(\displaystyle(\frac{a-b}{b-c})^2+(\frac{b-c}{c-a})^2+(\frac{c-a}{a-b})^2-5\)

\(\displaystyle=\frac{(a^3-2a^2b-a^2c-ab^2+6abc-2ac^2+b^3-2b^2c-bc^2+c^3)^2}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}\geqslant 0\)

波斯猫猫

求证：(sinθ)^4+(cotθ)^4+(secθ)^4≥5。
证明（分析法）：令t=(cosθ/sinθ)^2，欲证(sinθ)^4+(cotθ)^4+(secθ)^4≥5成立，
只需证{1/〔(cosθ/sinθ)^2+1〕}^2+(cosθ/sinθ)^4+{[1/(cosθ/sinθ)]^2+1}^2≥5成立，
即〔1/（t+1)〕^2+t^2+（1/t+1）^2 ≥5，或〔t^4（t+1)〕^2+t^2+（t+1）^4〕/〔t^2（t+1）^2〕 ≥5，
或{〔t^4（t+1)〕^2+t^2+（t+1）^4〕-5〔t^2（t+1）^2〕}/〔t^2（t+1）^2〕 ≥0，
或（t＾3+t＾2-2t-1）^2/〔t^2（t+1）^2〕 ≥0成立。上述步步可逆，证毕。

1，令f（t）=t＾3+t＾2-2t-1,则f（1）=-1，f（2）=7。故方程t＾3+t＾2-2t-1=0在区间（1,2）上必有正实根
t=t1（其它两根均为负）,所以，当且仅当t=t1时，上式等号成立。
2，人们常常遇到需要把代数题做三角代换，很少遇到有把三角题做代数代换的。