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对我所构造的图的分析

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发表于 2020-11-5 17:48 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 雷明85639720 于 2020-11-6 11:22 编辑

对我所构造的图的分析
雷  明
(二○二○年十一月四日)

    1、对我所构造的图的分析
我仿照敢峰先生的转型演绎法也构造了一个图(如图1),我把它归入到了无经过围栏顶点的有双环交叉链的构形之中。可能有人会问,这个图中明明有经过了两个围栏顶点的C—D环形链(如图2),怎么就不是有经过了围栏顶点的环形链的构形呢?当然主要是因为我所构造这个图的目的,是为了研究无经过转栏顶点的环形链的有双环交叉链的构形的转型次数的。另外从下列操作实际上,也说明了归入无经过围栏顶点的环形链的构形一类是合适的。


图中环形的C—D链并没有把双环交叉链A—C和A—D的共同起始顶点(着A色)和交叉顶点(也着A色)分隔在环的两侧(如图2),而是在同一条A—B链上。交换了C—D环两侧的任一条A—B链,双环交叉链A—C和A—D是不会断开的(如图3和图4),仍是有双环交叉链的构形。构形的类型总是BAB型的原地不动,或总是在BAB—ABA—BAB两类型之间无穷的循环,与埃雷拉图一样,在进行转型交换时,图总是在BAB—CDC—ABA—DCD—BAB四类型之间无穷的循环着。



如果把图1当成无经过围栏顶点的环形链的构形看待,则对其进行四次转型交换后,就可转化成一个可以连续的移去两个同色B的构形(如图5到图10)。
第四次转型后的图8,好象也是一个有经过了围栏顶点的环形链的构形,但在A—B环内、外交换了任一条C—D链后,构形就转化成了无双环交叉链的构形了,且是只有一条连通链的可约构形(如图11和图12)。图11的待着色顶点V分别可着以A或D(如图13和图14),图12的待着色顶点V分别可着以A或C(如图15和图16)。



一、二、三次转型后的图5、图6和图7中都有经过了围栏顶点的A—B环形链,可以直接用断链交换法使构形转化成无双环交叉链的可约构形,早点结束转型。
把图1向逆时针方向转型时,0次转型(即不转型)就可以连续的移去两个同色B(如图17和图18)。
在图1中把C—D环中不与外面其他A—B链连通的A—B链去掉(如图19),并把环形的C—D链变成非环形时,就应是一个无经过围栏顶点的环形链的构形。当把图19中四边形CDCD的两个D同化成一个顶点时,就是图20,即是一个无经过围栏顶点的环形链的构形。




把图20进行三次转型交换,就可以得到一个可以连续的移去两个同色D的构形(如图21到图24)。比对图1的构形转型时的转型次数还少了一次。同时,转型所得到的图中也同样的含有经过了围栏顶点的环形链,也可以提前结束转型。
当把图19中的四边形CDCD的两个C同化成一个顶点时,图转化成了一个只有一条连通链的无双环交叉链的可约构形了(如图25和图26)。图25和图26的着色结果如图27和图28。


也正是因为有以上这些实际操作上的原因,所以我才把我所构造的这个构形归入了无经过围栏顶点的环形链的有双环交叉链的构形一类之中。
2、我的图与终极图的比较
㈠ 图的结构:终极图是一个有经过了围栏顶点的环形链A—B的构形,可以用断链交换法交换A—B环内、外的任一条C—D链的方法进行解决;而我的图却是一个无经过围栏顶点的环形链的构形,只能继续用连续转型的方法进行解决。
终极图在转型演绎中所增加的顶点均在原初始图中的A—C环和A—D环上或外侧,所增加的边均在初始图中的A—C环和A—D环的两侧。而我的图在转型演绎中所增加的顶点和边均在原初始图中的A—C环和A—D环的内侧。
㈡ 特别之处:终极图还有一个不经过围栏顶点的环形链的C—D链(如图29中的双线线链),但因交换了其内、外的任一条A—B链后,构形都会成为有别的双环交叉链的构形,因而不能用断链交换的方法进行解决;而我的图中也有一条经过了围栏顶点的环形的C—D链(如图2中的加粗虚线链),却因为其未把双环交叉链的起始顶点和交叉顶点分隔在环的内、外两侧,所以也不能使用断链交换的方法进行解决。

㈢ 继续使用转型交换的结果:
终极图继续转型时,顺时针转型得到的是以每四次转型为一个周期的BAB—CDC—ABA—DCD—BAB四个类型无穷循环的构形;逆时针转型时,得到的是以每四次转型为一个周期的BAB—DCD—ABA—CDC—BAB四个类型无穷循环的构形。待着色顶点均无颜色可着(图就不再画了)。而我的图继续转型时,顺时针经四次转型分别得到CDC、ABA、DCD三个类型的有经过了围栏顶点的环形链的有双环交叉链的构形(如图5到图7),和最后得到的一个BAB型的可以连续的移去两个同色B的可约构形(如图8);逆时针转型时,则其本身就是一个可以连续的移去两个同色B的构形(如图11到图16)。
㈣ 改用断链交换方法后的结果:
终极图改用断链交换方法后,得到的是一个无双环交叉链的可约构形(如图30);而我的图在改用断链交换法后,得到的构形却总是BAB型的原地不动,或总是在BAB—ABA—BAB两类型之间无穷循环的构形,待着色顶点也均无颜色可着(如图3和图4)。

㈤继续使用转型交换所得各构形的对称性
若以第二次转型的构形为中心构形时,其对称性如下:
终极图:第二次转型后的构形,既有经过了三个围栏顶点的环形链A—B(已把围栏中的C—D顶点与其他的C—D顶点分隔在了环的两侧),又有不经过围栏顶点的环形链C—D(因交换了其内、外的任一条A—B链后,构形都会成为有别的双环交叉链的构形,因而不能用断链交换的方法进行解决),双环交叉链有三个交叉顶点(如图31);第一次转型和第三次转型后的构形,分别都只有一个经过了两个围栏顶点的环形链A—B(已把双环交叉链的共同起始顶点A与交叉顶点A分隔在环的两侧),双环交叉链都有两个交叉顶点(如图32和图33);第○次转型(即终极图本身)和第四次转型后的构形,分别都既有经过了三个围栏顶点的环形链A—B(也已把围栏中的C—D顶点与其他的C—D顶点分隔在了环的两侧),又有不经过围栏顶点的环形链C—D(也因交换了其内、外的任一条A—B链后,构形都会成为有别的双环交叉链的构形,因而不能用断链交换的方法进行解决),双环交叉链都只有一个交叉顶点(如图29和图34)。


以上五个构形中,把各对称的构形拓扑变化成峰点均向上的形式后,图中的链也是对称的(图就不画了,请读者自已画一下)。
还可以看出,终极图(或第四次转型后的构形)若在C—D环形链内、外进行了任一条A—B链的交换后,都会转化成第二次转型后的构形;相应的,第二次转型后的构形若在C—D环形链内、外进行了A—B链的交换后,也会转化成终极图和第四次转型后的构形。这也就是有不经过围栏顶点的C—D环形链的构形,不能在其内、外交换交换任一条A—B链进行断链的原因),以上的终极图和对其进行了四次转型后的各个构形,均是有经过了围栏顶点的有双环交叉链的发生了颜色冲突的构形。
我的图:第二次转型只有经过了围栏三个顶点的A—B环形链,双环交叉链只有一个交叉顶点;第一次转型和第三次转型分别都有经过了两个围栏顶点的环形的A—B链(也已把双环交叉链的共同起始顶点A与交叉顶点A分隔在环的两侧),双环交叉链都有两个交叉顶点;第○次转型(即我的图本身)和第四次转型分别都是虽有经过了两个围栏顶点的环形链C—D和A—B,但没有把双环交叉链的共同起始顶点与交叉顶点分隔在环的两侧,所以都不能归入有经过了围栏顶点的环形链的一类构形,而只能归入无经过围栏顶点的环形链的一类构形。我的图本身就是一个可以连续的移去两个同色B的可约构形,我的图第四次转型后的构形则是一个只有一条连通链的可约构形。
㈥ 两图的适用性
终极图能够反映有经过了围栏顶点的环形链的颜色冲突的情况,但反映不了无经过围栏顶点的环形链的颜色冲突的情况;而我的图,虽是属于无经过围栏顶点的环形链的构形,但却既能反映无经过围栏顶点的环形链的颜色冲突的情况,又能反映有经过了围栏顶点的环形链的颜色冲突的情况。相对之下,我所构造的图的适应性更强一些。但敢峰先生的终极图和我所构造的图都是颜色冲突的最基本模型。
3、现在再讲一下,构造颜色冲突最基本模型的意义
证明四色猜测必须解决颜色冲突的问题,解决颜色冲突的问题就必须用顶点数不确定的、不是具体图的、非极大的平面图的构形去进行证明。解决了这些颜色冲突问题的构形的4—着色问题后,就必须寻找与颜色冲突问题的构形相对应的、顶点数一定的具体的极大平面图,以证明极大平面图中确实存在这样的构形。通过转型演绎的方法就可以构造出敢峰先生的终极图这个有经过了围栏顶点的环形链的模型,以及我构造的这个无经过围栏顶点的环形链的模型,这是这两个不同类型的最基本的颜色冲突模型。这两个类型的构形是可4—着色的,那么,在这两个已经4—着色的模型的基础上经“加顶和加边”所得到的顶点数多于这两个模型的任何极大平面图,所增加的顶点一定都是可以着上图同已用过的四种颜色之一的;以及在这两个已经4—着色的模型的基础上经“去顶和加边”所得到的顶点数小于这两个模型的任何极大平面图的色数,只会减少而不会再增加。这就证明了任何极大平面图的四色猜测是正确的。也即证明了任何地图的四色猜测也是正确的。同样的道理,已经用四种颜色着色的任何极大图经“去顶”或“减边”所得到的任意(非极大)的平面图的色数,也只会减少而不会再增加。这也就证明任何平面图的四色猜测是正确的。

雷  明

注:此文已于二○二○年十一月五日在《中国博士网》上发表过,网址是:

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