计算 lim(n→∞)∑(k=0,n)C(n,k)^(-1) 和 lim(n→∞)∑(k=0,n)C(n,k)^r（r＞0）

elim

计算： \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\small\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^{-1}\)

永远

可以转化成一个积分，然后在求解

elim

更为有趣的是 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^{-r}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^{-1}\)
对一切常数\(\,r>0\) 成立!

elim

计算： \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^{-r}\;\;\small(r>0).\)
解：取定\(\,m\,\)使\(\,mr>1\),则当\(\,m\le k\le n-m\,\)时有
\(\qquad\displaystyle\small\binom{n}{k}\ge\binom{n}{m}=\frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m!}= O(n^m)\) 于是
\(\qquad\small\displaystyle\sum_{k=m}^{n-m}\binom{n}{k}^{-r}=O(n^{1-mr)})=O(n^{-(mr-1)})\to 0\;(n\to\infty)\)
\(\therefore\quad\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^{-r}=2\binom{n}{0}^{-r}+\lim_{n\to\infty}\sum_{0< k<m}2\binom{n}{k}^{-r}= 2.\)

elim

王守恩老师, 听听你的见解?

永远

转载

日经问题?。
由于二项式系数的对称性 从两边往中间求和
1/Binomial(n,k)=1+1+1/n+1/n+2/(n(n-1))+...
又由于二项式系数的先增后减性（倒数为先减后增性），可得不等式2<原式<=1+1+1/n+1/n+(n-2)*(2/(n(n-1)))=2+2/n+2/n=2+4/n。几何意义上就是把坑中间取一个坡度上的值填平 大于原式 夹挤极限为2
这个式子还可以通过恒等变换求出任意阶的渐进估计。懒得写了之后总结。


唬人的题
k=0,n,这部分和是2
k=1,n-1,这部分和是2/n
其他的k,根据组合数的单调性,必定有C(n,k)不小于C(n,2)
这部分的是不超过(n-3)/C(n,2)
所以这个和式小于2+2/n+2(n-3)/n(n-1),但是又大于2
极限只能是2

elim

这个题目特别简单, 但也不是彻底平庸: 当中的坑"下陷的速度"比和的项数的增加"快"!  愣是没有人独立完成.

另外, 四楼给出的一般结果还是要点技巧的. 估计能看明白我的略解的也不是太多. 本意是看大家的参与.

王守恩

elim 发表于 2020-11-9 09:17
王守恩老师, 听听你的见解?

我是在努力的学，囫囵吞枣的学。

1，\(\displaystyle\sum_{k = 0}^9\ \frac{k\ !\ (9-k)\ !}{9\ !}\)
   2.3174603174603174603174603174603174603174603174603

2，\(\displaystyle\sum_{k = 0}^{99}\ \frac{k\ !\ (99-k)\ !}{99\ !}\)
   2.0206276186376404507018372230648972081473845940980

3，\(\displaystyle\sum_{k = 0}^{999}\ \frac{k\ !\ (999-k)\ !}{999\ !}\)
   2.0020060261510914616920523196497520380979351800807

4，\(\displaystyle\sum_{k = 0}^{9999}\ \frac{k\ !\ (9999-k)\ !}{9999\ !}\)
   2.0002000600260150108293754695308950040215401801482

5，\(\displaystyle\sum_{k = a}^{\infty}\ \frac{k\ !\ (n-k)\ !}{n\ !}\){a, 0, 5}
   Hypergeometric2F1[1, 1, -n, -1],
   ((-1 + n)! Hypergeometric2F1[1, 2, 1 - n, -1])/n!,
   (2 (-2 + n)! Hypergeometric2F1[1, 3, 2 - n, -1])/n!,
   (6 (-3 + n)! Hypergeometric2F1[1, 4, 3 - n, -1])/n!,
   (24 (-4 + n)! Hypergeometric2F1[1, 5, 4 - n, -1])/n!,
   (120 (-5 + n)! Hypergeometric2F1[1, 6, 5 - n, -1])/n!

6，\(\displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty}\ \bigg(\frac{k\ !\ (n-k)\ !}{n\ !}\bigg)^a\){a, 1, 5}
    Hypergeometric2F1[1, 1, -n, -1],
    HypergeometricPFQ[{1, 1, 1}, {-n, -n}, 1],
    HypergeometricPFQ[{1, 1, 1, 1}, {-n, -n, -n}, -1],
    HypergeometricPFQ[{1, 1, 1, 1, 1}, {-n, -n, -n, -n}, 1],
    HypergeometricPFQ[{1, 1, 1, 1, 1, 1}, {-n, -n, -n, -n, -n}, -1]

7，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k = 0}^{n}\ \frac{k\ !\ (n-k)\ !}{n\ !}\)
   =Limit[-((I 2^(-1 - n) (\[Pi] - I Beta[2, 2 + n, 0]) Gamma[2 + n])/n!),n -> \[Infty]]

永远

楼上排山倒海的码了一大堆代码，貌似耗费了不少精力。不知道写的啥，看的我直接飘了

luyuanhong

楼上 elim 的解答和 永远 转载的帖子很好！已收藏。