求 f(θ)=√(10-6cosθ)+√(17/8-3√2/2sinθ)+√(19-2√2cosθ-8sinθ) 的最小值

jiangmingdar

我用電腦繪圖
大概圖形如下，但是如何下手沒有頭緒，請幫忙，謝謝!

波斯猫猫

实数计算掉坑 新人帖       
一次函数
2020-10-31 17:51        1
52
Ysu2008
2020-10-31 20:03
        求 f(θ)=√(10-6cosθ)+√(17/8-3√2/2sinθ)+√(19-2√2cosθ-8sinθ) 的最小值 attach_img       
wintex
2020-10-30 15:14        11
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luyuanhong
2020-10-31 19:41
        机器学习相关的，这两题怎么证明 新人帖 attach_img       
jiaxing0901
2020-10-31 11:17        0
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jiaxing0901
2020-10-31 11:17

波斯猫猫

        求 f(θ)=√(10-6cosθ)+√(17/8-3√2/2sinθ)+√(19-2√2cosθ-8sinθ) 的最小值 attach_img       
wintex
2020-10-30 15:14        11
162
luyuanhong
2020-10-31 19:41

王守恩

\(\cos(\theta)=\frac{1}{3}，最小值=\frac{21\sqrt{2}}{4}-1\)

Minimize\(\bigg[\sqrt{10-6x}+\sqrt{\frac{17}{8}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-x^2}}+\sqrt{19-2\sqrt{2}x-8\sqrt{1-x^2}},{x}\bigg]\)
\(=\sqrt{10-6*\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{17}{8}-\sqrt{\frac{18}{4}}\sqrt{\frac{8}{9}}}+\sqrt{19-\sqrt{\frac{8}{9}}-8\sqrt{\frac{8}{9}}}\)
\(=\sqrt{8}+\sqrt{\frac{17}{8}-2}+\sqrt{19-9\sqrt{\frac{8}{9}}}\)
\(=\sqrt{8}+\sqrt{\frac{17}{8}-2}+\sqrt{19-2\sqrt{18}}\)
\(=\sqrt{8}+\sqrt{\frac{17}{8}-2}+\sqrt{18}-1\)
\(=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+3\sqrt{2}-1\)
\(=\frac{21\sqrt{2}}{4}-1\)

luyuanhong

下面是网友 波斯猫猫 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：

思路：令cosθ=x，sinθ=y，

则f(θ)=√(10-6cosθ)+√(17/8-3√2/2sinθ)+√(19-2√2cosθ-8sinθ)

=√(3-x)＾2+y＾2）+√【(3/2√2-y)＾2+x＾2）】+√【(√2-y)＾2+（4-x）＾2）】。

本题所求最小值，就是要在单位圆x＾2+y＾2=1上求一点P（x，y）,使得点A（3，0）、B（0，3/2√2）、C（√2、4）分别到P的距离之和最小。

经过计算可知，直线AB与该单位圆相切，且与直线OA垂直于切点P，容易算得其最小值是AB+PC=-1+21√2/4(此时，θ=2kπ+arctan2√2).

luyuanhong

下面是网友 天山草@ 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：

luyuanhong

下面是网友 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：

jiangmingdar

原來是之前就被解答完成的考題
謝謝大家辛苦幫忙