求所有的正整数 n 与 k，使得 k 次 n 元多项式 x^k+y^k+…+z^k 在实数域内可分解因式

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我们知道，
\[x^3+y^3 = (x+y)(x^2+xy+y^2)\] 在实数域内可分解。

由此，\[x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4+x^2y^2+y^4) \] 在实数域内可分解。

现在，求所有的正整数 n 与 k，使得 k 次 n 元多项式 \[x^k+y^k+...+z^k\] 在实数域内可分解。

再或者，
求所有的正整数 n, k, p，使得 k 次 n 元多项式 \[x^k+y^k+...+z^k\] 在模 p 域内可分解。

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我只知道平凡的情况（初中老师教的）：
n=1 时，k>=2，忽略。
n=2时，k有奇因子，也就是说，k\(!=2^m\)，此外不知道有没有例外的。
n>=3时，一个也不知道。

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模 p 域的情况，
由于
\[(x-2y)(x+2y)=(x^2-4y^2)≡x^2+y^2(mod\ 5)\]

所以，
\[x^2+y^2\]
在模 5 域或其它 4k+1 型素数域中可分解。

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由于
\[x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2-xy-xz+y^2-yz+z^2)\]

故
\[x^3+y^3+z^3\]
在模 3 域中可分解。