四色猜测的证明提纲(第五稿)

雷明85639720

四色猜测的证明提纲(第五稿)
雷  明
(二○二○年十一月二十四日)

1、出发点：
从地图出发（地图是3—正则的平面图）——地图的对偶图（极大平面图）。一个地理问题转化成了一个数学问题。
2、引入不可避免构形的概念：
构形（极大平面图着色时，总能遇到与待着色顶点相邻的顶点全着了色的顶点）——不可避免构形（任何极大平面图中一定存在着度是小于等于5的顶点）——不可避免构形集（待着色顶点的度小于等于5的构形的集合）。一个无穷问题转化成了一个有限的问题。
3、引入颜色冲突的概念：
颜色冲突构形（围栏顶点已占用完了四种颜色的不可避免构形）——不可避免的颜色冲突构形（围栏顶点等于4和5的轮构形）。使研究的范围越来越小。
4、引入双环交叉链的概念：
双环交叉链是指两条连通链A—C和A—D，既有共同的起始顶点A，中途又有相交叉的顶点A，并分别与待着色顶点构成了一个环。
无双环交叉链的构形（如图1），坎泊早在1879年就已经解决，是可约的（待着色顶点可以着上四种颜色之一）。即无双环交叉链的4—轮构形和5—轮构形都已经解决。
有双环交叉链的构形（如图2），坎泊在证明时遗漏了，现在证明四色猜测，主要就是解决这类构形的可约性问题。即有双环交叉链的5—轮构形的可约性问题。使研究的对象再次减少。

5、看是否是可以连续的移去两个同色的可约构形：
如果可以连续的移去两个同色，则该构形就已经是可约的了；否则，该构形就是我们研究四色问题的重点了。研究的对象更少了。
6、引入关键顶点的概念：
双环交叉链A—C和A—D的起始顶点1A和末尾顶点5C和4D都在围栏上，两链的交叉顶点出A和两链中途的相邻顶点6C和7D虽不在围栏上，但却有着特别重要的地位。这六个顶点只要有一个顶点的颜色发生了改变，构形就转化成了无双环交叉链的构形了。双环交叉链断开了，构形就是可约的了。所以把这六个顶点就叫关键顶点。这些关键顶点分为两对，双环交叉链的起始顶点1A和相交叉顶点8A是一对，双环交叉链的末尾顶点4D—5C和中途的相邻顶6C—7D是一对。
7、用断链交换法处理构形中存在着经过了围栏顶点的环形链的构形：
在不可移去两个同色的颜色冲突的5—轮构形中，首先看是否存在着有经过了围栏顶点的环形链。
如果有经过了围栏顶点的环形链，并且把其相反色链中的一对关键顶点分隔在了环的两侧，这样就可以在环内或环外交换相反链的任一个关链顶点，双环交叉链就断开了，构形也就转化成为可约的构形了。所以这种方法叫断链交换法。
若没有经过围栏顶点的环形链，则就只能用转型交换法解决了，先移去一个同色，再看构形是否是可约的。若可约，就停止转型，否则就继续的按同一方向进行转型，直到可约为止。
8、用连续的转型交换法处理构形中不存在经过围栏顶点的环形链的构形：
不可移去两个同色的非极大的具体图的构形，在移去了一个同色后，即就是可以解决问题，也可先不去解决它，而是用人为的再构造双环交叉链的办法继续构造双环交叉链。经过了六次转型后，在平面图的范围内，就不可能再构造双环交叉链了（也即五次转型后，就是一个可以连续的移去两个同色的可约构形），但最后得到的仍是非极大图的构形。两个方向进行转型，都有同样的结果（转型次数是相同的）。
把转型过程中所增加的顶点和边，连同所着的颜色，都增加到转型前的构形中去，图仍是非极大图，同方向的转型也有同样的结果；但逆向转型时，两次转型就不可能再构造双环交叉链了，而是一个只有一条连通链的可约构形。再加边使之成为极大图时，与非极大图时也有同样的结果。但把两个方向转型所增加的的顶点和边，连同所着的颜色，一同增加到转形前的构形中去，并加边成为极大图时，再分别进行两个方向的转型交换，就都是最多两次转型，就成了只有一条连通链的可约构形了。这都说明了非极大图的转型次数是要大于极大图的转型次数的。
另外，从可移去两个同色的有双环交叉链的最简单构形（如图2）开始，用敢峰先生的转型演绎的方法，构造的无经过围栏顶点的环形链的极大图模型，再继续同方向的四次转型后就得到了可以连续的移去两个同色的可约构形（也即是五次转型后就会得到了只有一条连通链的可约构形）；但逆方向转型时，一次转型即可得到只有一条连通链的可约构形。连续转形的中途也可得到有经过了围栏顶点的环形链的极大图模型，也可以改用断链交换法进行处理，及早结束转型。这里得到的极大图模型的转型次数也是小于在证明时由非极大图得到的转型次数的，与上面说的结论是相同的。
虽然现在可以得出，极大平面图的不可避集中的所有构形，都是可约的了，但还不能就说明四色猜测就是正确的。因为证明时用的各种非极大图的构形，是否在极大平面图中都有相应对应的模型，还没有得到落实。现在还要寻找各种非极大图的构形所对应的极大图模型是否存在。
9、与构形相对应的各种极大图模型：
在上面的8中已经得到了一种无经过围栏顶点的环形链的5—轮颜色冲突模型——基本模型，用同样的方法，敢峰先生早在1992年也早就得到了有经过了围栏顶点的环形链的5—轮颜色冲突模型——终极图。这两个图都是极大图，解决的方法也都与前面所说的方法相同。用这两个基本模型，可以得到任意顶点数的极大图的颜色冲突模型，也都是可约的。加上已经证明已是可约的其他不可避免构形，平面图所有的不可避免构形都是可约的了。这时，也只有在这时，才能说极大平面图的四色猜测是正确的。
10、最后又要回到地图，四色猜测是正确的：
极大平面图的四色猜测是正确的，由极大平面图再反回到地图时，地图的四色猜测也就是正确的了。由极大图再经去顶或减边所得到的任意平面图的色数只会减少而不会再增加，所以任意平面图的四色猜测也是正确的。现在才可以总的说四色猜测是正确的了。这才真正叫做“四色足矣”！

雷  明
二○二○年十一月二十四日于长安

注：此文已于二○二○年十一月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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