应用柯西收敛原理过程中如果出现小于零的情况怎么办？

wufaxian

请看上图红框部分。应用柯西收敛原理验证序列是否收敛一般都是通过
\begin{equation}
\left|x_{m}-x_{n}\right|<\varepsilon
\end{equation}
是否成立来做判断
但如果发现不是小于
\begin{equation}
\varepsilon
\end{equation}
而是小于0
如上图红框部分
\begin{equation}
\lim |q|^{n}=0
\end{equation}
导致
\begin{equation}
\lim \frac{|q|^{n}}{1-|q|^{n}}=0
\end{equation}
那么柯西收敛原理同样可以得出收敛的结论吗？




即便我上面举的例子有错误。如果真出现小于0的情况那么可以认为是收敛？还是有其他结论？