计算 (8+3√21)^(1／3)+(8-3√21)^(1／3) 的十进制值

elim

题：计算\(\;\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}\)的十进制值.

永远

好纠结，计算就算好了，怎么还带个十进制，题目不好理解

波斯猫猫

令x=（8+3√21）＾1/3，y=（8-3√21）＾1/3，则x＾3+y＾3=16，(xy)＾3=-125，即xy=-5.
所以，x＾3+y＾3=（x+y）[(x+y)＾2-3xy]=（x+y）[(x+y)＾2+15]=z(z＾2+15)=16  (z=x+y)，
即（z-1）（z＾2+z+16）=0，即z=x+y=（8+3√21）＾1/3+（8-3√21）＾1/3=1.
注：z＾2+z+16=0无实根，（8+3√21）＾1/3+（8-3√21）＾1/3∈R.

wangyangke

天山草@

注： 在实数范围内用 mathematica 计算负数的三次方根时，必须用 Surd[负数 , 3]  或 CubeRoot[负数] 指令。

永远

永远 发表于 2020-12-6 13:53
好纠结，计算就算好了，怎么还带个十进制，题目不好理解

我知道题目是计算，它不一定取实数值，还有虚数值。

但e老师刻意加上十进制值，不知道是强调主贴计算还是强调这个十进制值，言外之意主贴还有二进制值？？？

这语言叙述的我好纠结

elim

解：记\(\,a=8+3\sqrt{21},\;b=8-3\sqrt{21},\;c=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b},\;\,\)则\(\,ab=(-5)^3,\)
\(\qquad\,c^3=a+b+3(\sqrt[3]{a(ab)}+\sqrt[3]{b(ab)})=16-15c.\;\;\)可见\(\,c\,\)是方程
\(\qquad z^3+15z-16=(z-1)(z^2+z+16)=0\,\)的唯一实根.
\(\therefore\quad\boxed{\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}=1}\)

elim

@永远 居然不知道一个实数恒有p进制表示(p 是大于1的任意整数)？

一个数是无理数还是实数的纠结没让你逻辑上长进多少啊．

luyuanhong

楼上 elim 的帖子和各位的解答很好！已收藏。

王守恩

\(\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}=\sqrt[3]{\frac{64+24\sqrt{21}}{8}}=\sqrt[3]{\frac{1+3\sqrt{21}+3*21+21\sqrt{21}}{8}}=\sqrt[3]{\frac{(1+\sqrt{21})^3}{8}}=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\)
\(\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}=\sqrt[3]{\frac{64-24\sqrt{21}}{8}}=\sqrt[3]{\frac{1-3\sqrt{21}+3*21-21\sqrt{21}}{8}}=\sqrt[3]{\frac{(1-\sqrt{21})^3}{8}}=\frac{1-\sqrt{21}}{2}\)
\(\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}=\frac{1+\sqrt{21}}{2}+\frac{1-\sqrt{21}}{2}=1\)

一般地
\(\sqrt[3]{\frac{(1+3a)+(3+a)\sqrt{a}}{8}}=\sqrt[3]{\frac{1+3\sqrt{a}+3*a+a\sqrt{a}}{8}}=\sqrt[3]{\frac{(1+\sqrt{a})^3}{8}}=\frac{1+\sqrt{a}}{2}\)
\(\sqrt[3]{\frac{(1+3a)-(3+a)\sqrt{a}}{8}}=\sqrt[3]{\frac{1-3\sqrt{a}+3*a-a\sqrt{a}}{8}}=\sqrt[3]{\frac{(1-\sqrt{a})^3}{8}}=\frac{1-\sqrt{a}}{2}\)
\(\sqrt[3]{\frac{(1+3a)+(3+a)\sqrt{a}}{8}}+\sqrt[3]{\frac{(1+3a)-(3+a)\sqrt{a}}{8}}=\frac{1+\sqrt{a}}{2}+\frac{1-\sqrt{a}}{2}=1\)
\(a=5, 13, 21, 29, 37, 45, .....\)