从极大图基本模型到任意顶点数的极大图构形的转化方法

雷明85639720

从极大图基本模型到任意顶点数的极大图构形的转化方法
雷  明
（二○二○年十二月六日）

我们在研究构形的可约性时，用的是非极大图的非具体图，然后又用转型演绎的方法得到了极大图的基本模型。现在再来研一下如何从基本模型转化到任意顶点数的极大图构形的。
1、加长基本模型中链的长度：

在用A、B、C、D四种颜色着色的图中，共有三对相反的色链，即A—B链和C—D链一对，A—C链和B—D链一对，A—D链和B—C链一对，共三对。图中任何一条色链以外的其他顶点一定都全是其相反色链上的顶点。要加长某条链时，可在该链中某两个连续的顶点间增加两个顶点，并分别着上该链应该着的两种颜色。再把这两个顶点与该链以外的属于其相反色链上的顶点用边连接起来。这时的图仍是极大图（如图1）。
这样的变化，原基本模型中各链的相互关系是不会改变的，只是各链的长短有了变化。图1，a是变化前的情形；图1，b是在A—B链某两个顶点A—B间增加了A、B两个顶点的情形；图1，c是把增加的两个顶点A、B与A—B链以外的C—D链中的顶点C、D顶点连接起来的情形。
2、在链以外的某面中增加顶点：

在极大图中，各面一定都是三边形面，在某个面中增加一个顶点V，与其可连接的顶点只有三个，所以增加的这个顶点V一定是还有一种颜色可着的（如图2）。这就使得基本模型中原有链以外的顶点有所增加。这时图仍是极大图。
3、在基本模型的各链以外的边上增加顶点：

基本模型的链中，要增加顶点就得增加偶数个顶点，加长该链的长度。但不能增加奇数个顶点，因为增加奇数个顶点时，就必须增加有非该链中的顶点了。但这一增加，就等于使原来基本模型中的某条链发生断裂，就不再是原有类型的构形了。而在基本模型的各链以外的边，比如上面在某个面中增加了一个顶点后，所增加的边上增加顶点，则不会使原基本模型中的链发生断裂。但这时增加的顶点也一定是在一个四边形的某条对角线上的（如图3，b中的四边形ACDB的对角线AD上）。
图3，a是上面的在三边形面ABC内增加了一点D的情形（图中最上面的顶点D是原基本模型中的顶点）；图3，b是在与增加的顶点D相连的三条边中，在任一条边上增加一个顶点V和情形；图3，c是把增加的顶点V与其他两个与V没有相邻的顶点用边相连接的情形；图3，d是从图3，c中的四边形ACDB的顶点A交换A—D链，空出了A给V着上的情形。图仍是极大图。为什么这样进行交换，给V着色，是因为以V为中心顶点的4—轮的轮沿顶点至少有一对对角顶点的颜色构成的色链是不连通的，是可以交换的，在这里我们假定对角A、D构成的色链A—D是不连通的。
这样增加顶点的方法中，要进行颜色交换，给增加的顶点着色，一定会牵扯到原基本构形中某些顶点颜色的改变。但这一改变却与所得到的极大图构形是否可约是没有关系的。比如图3，d从四边形ACDB的A角交换了A—D链后，原有基本模型中的有些顶点，就会从A变成D，或从D变成A。这些顶点如果是双环交叉的A—D链上的顶点，则该链就断开了，构形成了无双环交叉链的可约构形了。如果这些顶点是环形的A—B链或C—D链上的顶点，那么环形的A—B链或环形的C—D链也一定会断开，也可能又构成了有环形的C—D链或环形的A—B链的构形；A—B环形链或C—D环形链断开后，还有可能构成无任何环形链的构形。但是，这些有颜色冲突的极大图构形都是可以解决的，也就都是可约的。
4、任意顶点数的极大图构形的可约性
通过以上三种形式的变化，从一个基本模型就会得到任意顶点数的极大图构形，其本模型是可约的，这些极大图构形也就是可约的了。现在，各种不可避免的极大图构形都是可约的了，当然四色问题也就得到了解决。四色猜测是正确的！

雷  明
二○二○年十二月六日于长安

注：此文已于二○二○年十二月六日在《中国博士网》上发表过，网址是：