求\(\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}=1\) 全部正整数解

elim

题：求\(\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}=1\) 全部正整数解。

myyour

c=5,b=8,a=16.
c=13,b=16,a=40.
c=21,b=24,a=64.
c=29,b=32,a=88.
c=37,b=40,a=112.
.
.
.
很多…………

elim

王守恩从Polya那里知道
\((a,b,c)=(1+3d,3+d,d), \;d=8k+5, \,k=0,1,2,\ldots\)
都是解，还有更多．

elim

例如 \((a,b,c)=(152,459,5)\) 就不在楼上的序列中．

王守恩

我来抛块砖。

求\(\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}=1\) 全部正整数解
\(\ \ \ \ \ \ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1\)
\(\ \ \sqrt[3]{17+18\sqrt{5}}+\sqrt[3]{17-18\sqrt{5}}=1\)
\(\ \ \sqrt[3]{47+80\sqrt{5}}+\sqrt[3]{47-80\sqrt{5}}=1\)
\(\ \sqrt[3]{92+217\sqrt{5}}+\sqrt[3]{92-217\sqrt{5}}=1\)
\(\sqrt[3]{152+459\sqrt{5}}+\sqrt[3]{152-459\sqrt{5}}=1\)
\(\sqrt[3]{227+836\sqrt{5}}+\sqrt[3]{227-836\sqrt{5}}=1\)
\(\sqrt[3]{317+1378\sqrt{5}}+\sqrt[3]{317-1378\sqrt{5}}=1\)
\(a=\frac{15n^2-15n+4}{2}\)
\(b=\frac{10n^3-15n^2+9n-2}{2}\)
\(c=5\)
也可以这样：
LinearRecurrence[{3, -3, 1}, {2, 17, 47}, 20]
{2, 17, 47, 92, 152, 227, 317, 422, 542, 677, 827, 992, 1172, 1367, \
1577, 1802, 2042, 2297, 2567, 2852}

LinearRecurrence[{4, -6, 4, -1}, {1, 18, 80, 217}, 20]
{1, 18, 80, 217, 459, 836, 1378, 2115, 3077, 4294, 5796, 7613, 9775, \
12312, 15254, 18631, 22473, 26810, 31672, 37089}

elim

我现在已有的结果是
\((b^2(8k+5)=(8m+5)(m+1)^2)\wedge(a = 3m+2)\wedge( c=8k+5)\)

试证：\(\sqrt[3]{3k-1+k\sqrt{8k-3}}+\sqrt[3]{3k-1-k\sqrt{8k-3}}=1\;(\forall k\in\mathbf{N}^+)\)
证：\(\because\;\;\sqrt[3]{\large\frac{(1+3a)\pm(3+a)\sqrt{a}}{8}}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}(1\pm\sqrt{a})^3}={\large\frac{1\pm\sqrt{a}}{2}}\;\;(\forall a\in\mathbb{N})\)
\(\therefore\quad\sqrt[3]{\large\frac{(1+3a)+(3+a)\sqrt{a}}{8}}+\sqrt[3]{\large\frac{(1+3a)-(3+a)\sqrt{a}}{8}}=1\qquad(\forall a\in\mathbb{N})\)
\(\because\quad(8\mid(1+3a))\wedge(8\mid(3+a))\iff(a=8k-3)\quad\;\;(a,k\in\mathbb{N})\)

\(\therefore\quad\sqrt[3]{3k-1+k\sqrt{8k-3}}+\sqrt[3]{3k-1-k\sqrt{8k-3}}=1\;(\forall k\in\mathbf{N}^+)\)

王守恩

elim 发表于 2020-12-9 08:56
我现在已有的结果是
\((b^2(8k+5)=(8m+5)(m+1)^2)\wedge(a = 3m+2)\wedge( c=8k+5)\)

通解公式。每1对 m,n (可以是0) 确定对应的 a,b,c (唯一)
\(a=\frac{6 m (2 n + 1)^2 + 15 n^2 + 15 n + 4}{2}\)
\(b=\frac{2 m (2 n + 1)^3 + 10 n^3 + 15 n^2 + 9 n + 2}{2}\)
\(c=8 m + 5 (n + 1)^0\)

王守恩

王守恩 发表于 2020-12-9 12:02
通解公式。每1对 m,n (可以是0) 确定对应的 a,b,c (唯一)
\(a=\frac{6 m (2 n + 1)^2 + 15 n^2 + 15 n ...

天山草@老师！怎样编程让a,b,c一起出来？
m=0,1,2,3,4,5,......      n=0,1,2,3,4,5,......
确定1对 m,n 后，怎样让 {a,b,c} 一起出来？

王守恩

elim 发表于 2020-12-9 08:56
我现在已有的结果是
\((b^2(8k+5)=(8m+5)(m+1)^2)\wedge(a = 3m+2)\wedge( c=8k+5)\)

\(b=\frac{2 m (2 n + 1)^3 + 10 n^3 + 15 n^2 + 9 n + 2}{2}\)
\(当n=0时，b=m+1=1,2,3,4,5....\)

elim

这个通解应该是名副其实的. 请王守恩老师检验一下.