求定积分 ∫(0,1)ln(-lnx)ln(1-x)／x dx

elim

题：求定积分 \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\ln(-\ln x) \ln(1-x)}{x} dx\)

永远

                       \(\displaystyle\begin{gathered}
  \int_0^1 {\frac{{\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)}}{x}dx}  = \int_0^\infty  {\ln x\ln (1 - {e^{ - x}})} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad \quad\;\;\quad \quad  =  - \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_0^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} } \ln xdx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\gamma  + \ln n}}{{{n^2}}}}  \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \; = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{\gamma }{{{n^2}}}}  - {\left. {\frac{d}{{ds}}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^s}}}} } \right|_{s = 2}} \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad  = \frac{{\gamma {\pi ^2}}}{6} - \zeta '(2) \hfill \\
\end{gathered} \)

elim

答案：\(\frac{\pi^2}{6}\gamma - \zeta'(2)\)

doletotodole

好神奇, zeta1和zeta2相乘

elim

谢谢永远的解. 两点:
\(\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{e^{-nx}}{n}\ln x\,dx=\frac{\gamma+\ln n}{n^2}\,\)这一步应该不属于入门水平.
\(\displaystyle\frac{d}{ds}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\color{red}{s}}}\bigg|_{s=2}\)

elim

已知\(\;\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-x}\ln xdx=-\gamma,\) 我们有
\(\;\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{e^{-nx}}{n}\ln xdx\overset{s=nx}=\frac{1}{n^2}\int_0^{\infty}e^{-s}\ln(s/n)ds=-\small\frac{\gamma+\ln n}{n^2}\)

luyuanhong

楼上 永远 的解答很好！已收藏。