给永远的题目：证明定积分的定义的合理性。

elim

题：设\(\,f\,\)在\([a,b]\)连续，试证极限\(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{b-a}{n}}\sum_{k=1}^n f\big(a{\small+\frac{k(b-a)}{n}}\big)\) 存在.

elim

请教一下，各位读微积分时是否见过教科书讲这个问题？

simpley

定积分要证明，1）每个小区间取任意一点时，极限存在；2）这些极限都相等
所以不仅要证明极限存在，还有证明取不同点时极限是常数

elim

simpley 发表于 2020-12-11 10:42
定积分要证明，1）每个小区间取任意一点时，极限存在；2）这些极限都相等
所以不仅要证明极限存在，还有证 ...

要证明对积分区间的每个分割，黎曼和因函数在各小区间的取值的差异对极限不构成影响。

永远

课本上说了只有光滑曲线存在极限，看来要证明主贴极限存在，先证明是光滑曲线，不看书，难度还是很大

simpley

只要是光滑曲线，就存在极限。
不是只有。只有和只要，不一样

elim

连续就足够了. 但估计就算光滑, 你们还是不知道怎么证黎曼和的极限的存在性.

永远

这个有点难度，还是放弃算了，书上都是以结论形式给出的，直接用

elim

simpley 发表于 2020-12-12 22:54
只要是光滑曲线，就存在极限。
不是只有。只有和只要，不一样

这说法没错, 但断言不是证明啊.

elim

永远 发表于 2020-12-14 07:39
这个有点难度，还是放弃算了，书上都是以结论形式给出的，直接用

工科和理科的区别就在这里.  所有的理科教程都不会就给个结论了事的.