设 an＞0 ，Sn=∑(k=1,n)an→+∞ ，求 p 使得 ∑(n=1,∞)an／sn^p 收敛

elim

题：设\(\,\displaystyle a_n>0,\;s_n=\sum_{k=1}^{n}a_n\to\infty\). 求\(\,p\,\)使\(\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{s_n^p}\)收敛

uk702

某书上给出了 p=2 的证明，我尝试推广到 p>1 的情况。

elim

谢谢楼上 uk702 的解.  下面是我的一个解
由积分中值定理, 有某\(\,\xi\in(s_{n-1},s_n)\) 使\(\;\displaystyle{\small\frac{a_n}{s_n^p}}<{\small\frac{s_n-s_{n-1}}{\xi^p}}=\int_{s_{n-1}}^{s_n}\frac{ds}{s^p}\)
\(\therefore\;\;\displaystyle\sum_{n=1}^N{\small\frac{a_n}{s_n^p}}< a_1^{1-p}{\small+ \int}_{s_1}^{s_N}{\small\frac{ds}{s^p}}< \small\frac{p}{(p-1)a_1^{p-1}}\;(p>1,\;\forall N)\)
现证\(\,p=1\) 时\(\,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{s_n}\) 发散. 不妨设\({\large\frac{a_n}{s_n}}\to 0\,\)于是\(\,s_n\sim s_{n+1}\)
仿上易见\(\displaystyle\,\sum_{n=1}^N\frac{a_{n+1}}{s_n}>\int_{s_1}^{s_N}{\small\frac{ds}{s}}=\ln(s_N)-\ln(s_1)\to\infty.\)
综上, 对发散正项级数\(\displaystyle\,\sum_{n=1}^\infty a_n\), 当且仅当\(\,p>1\,\)时\(\,\displaystyle\sum_{n=1}\frac{a_n}{s_n^p}\) 收敛.

luyuanhong

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